5.8.3. Дендрограмма (кластерный аналіз)
Якщо порівнювати кілька ділянок, гарне уявлення про бета–різноманіття може дати кластерный аналіз.
Кластерный аналіз – один з методів багатомірного аналізу, сутність якого складається в ієрархічній класифікації об'єктів у поділі безлічі об'єктів на однорідні групи. Графічно ієрархічна класифікація відображається у вигляді дендрограммы (дерева).
Усередині кожної групи, одержуваної в результаті розбивки об'єктів на кластери (групи), об'єкти більше подібні, чим з об'єктами з інших груп. Кластерный аналіз починається зі складання матриці подібності для кожної пари порівнюваних об'єктів. Потім проводиться послідовне об'єднання об'єктів у групи по ступені їхньої подібності, поки всі вони не будуть включені в одну групу. Оскільки інтерпретація результатів кластерного аналізу залежить від візуальної оцінки дендрограммы, найкраще використати цей прийом для малих масивів даних.
Як приклад розглянемо кластеризацию вибірок на основі матриці індексів подібності (табл. 5.8.1). Найпростіші методи кластерного аналізу, застосовуваного в біоценології, біогеографії й числовій таксономії різними авторами, описані Ю. А. Песенко [1982]. Ці методи можуть бути з успіхом використані й в екологічних дослідженнях при аналізі бета–різноманіття.
в
А
д
г
I I
0,4
О
0,2
У найбільш простих випадках процес угруповання починається зі знаходження в матриці індексів подібності пари найбільш подібних об'єктів. Найближчими об'єктами в прикладі, розглянутому в табл. 5.8.1, є Г и Д (0,90). Ці об'єкти відображаються на графіку двома сусідніми крапками (мал. 5.8.4).
паралельні лінії, Що Відходять від крапок, з'єднуються відрізком на рівні величини подібності й поєднуються в один кластер. Потім у матриці індексів подібності перебуває другий по величині індекс подібності. Якщо він зв'язує два інших, ще не об'єднаних у групу об'єкта, то їх з'єднують так само, як і перші два, але окремо від них на відповідному рівні подібності. У нашому прикладі друга по силі зв'язок є між об'єктами Г и В (0,85), при цьому один із цих об'єктів уже об'єднаний у кластер. У цьому випадку приєднання пов'язаного з ним нового об'єкта може бути зроблено трьома різними способами: одиночним, повним і середнім приєднанням.
Одиночне приєднання називають також «методом ближнього сусіда». Метод уперше використаний Серенсеном в 1948 році. З'єднання груп виробляється за максимальним значенням подібності між об'єктами з кожної групи. Дотримуючись цього методу, об'єкт У приєднується до об'єктів ДГ, уже об'єднаним у кластер. Наступне по величині подібність – між об'єктами А и Б (0,80). Вони поєднуються в окремий кластер на рівні подібності. Наступний крок – приєднання об'єкта Е к групі з об'єднаних раніше об'єктів ДГВ, тому що між об'єктами Е и Г подібність дорівнює 0,75. На останньому етапі поєднуються два сформованих раніше кластери ДГВЕ й АБ в один на рівні 0,60. Результати об'єднання показані на мал. 5.8.4.
Повне приєднання називається також «методом далекого сусіда». Метод був уперше запропонований Снитом в 1957 році Відповідно до цього правила, після формування кластерів ДГ і АБ до групи АБ приєднується об'єкт Е, тому що мінімальна подібність цього об'єкта з об'єктами цього кластера дорівнює 0,60. Об'єкт У приєднується до групи ДГ тільки на рівні 0,15 (мінімальна подібність із кожним з об'єктів групи). Цей об'єкт не можна приєднати до кластера ЕАБ, тому що мінімальна подібність об'єкта Е с об'єктами цієї групи всього 0,1. Результати об'єднання показані на мал. 5.8.5.
Рис. 5.8.4. Дендрограмма кластерного аналізу шести об'єктів, побудована методом одиночного приєднання (найближчого сусіда)
показані на мал. 5.8.6.
і 10 20 30
Ранг виду
Рис. 5.8.5. Дендрограмма кластерного аналізу шести об'єктів, побудована методом повного приєднання (далекого сусіда)
Середнє приєднання. Цей метод включає кілька варіантів. Він був запропонований в 1958 році З калом, Майченером і Олсоном, Міллером одночасно. Один з найпростіших варіантів цього виду кластерного аналізу полягає у використанні середніх арифметичних незважених значень подібності приєднаного об'єкта з усіма об'єктами групи. З'єднуються кластери, середня подібність між об'єктами яких вище. Відповідно до цього методу, після формування кластерів ДГ і АБ до групи АБ приєднується об'єкт Е, тому що середня подібність цього об'єкта з об'єктами цього кластера (0,6 + 0,65)/2 = 0,625. Цей об'єкт не можна приєднати до кластера В (подібність усього 0,10) або кластеру ДГ (середня подібність дорівнює 0,50). На наступному кроці до групи ДГ приєднується об'єкт В, тому що середня подібність його з об'єктами даного кластераравно 0,5, а із группойеаб – лише 0,20. Останній крок – об'єднання двох груп ДГВ і ЕАБ в один кластер на рівні 0,49, тому що ця величина показує середній зв'язок між об'єктами у двох групах. Результати об'єднання
Більше складні й різноманітні методи кластерного аналізу реалізуються за допомогою обчислювальної техніки. Розроблено безліч статистичних пакетів програм, таких як Statgraphics, Statistica, STADIA і інші, які виконують кластерный аналіз.