4. Смешанное произведение векторов. Выражение смешанного произведение в координатах. Нахождение объема тетраэдра. 2.4

Смешанным произведением трех векторов называют число

Свойства:

1. Смешанное произведение некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, построенного на них

2. Три вектора компланарны в том и только в том случае когда их смешанное произведение равно нулю.

3. Чтобы найти объем тетраэдра нужно найти смешанное произведение и разделить его на 6.

Выражение смешанного произведения в координатах

4. Общее уравнение прямой на плоскости. 3.1

Из рисунка следует, что вектор n и M0M ортогональны (перпендикулярны), поэтому они имеют скалярное произведение равное нулю.

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

Ограничимся случаем, когда прямая лежит на плоскости, а значит все Z равны нулю

Ax+By+C=0

4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом-вывод. 3.1

Tgα =

Y=kx+b

4. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки-вывод.3.1

Векторы М1М2 и М1М3 коллинеарны. В силу условия коллинеарности: М1М2=λ*М1М3

Х2-х1= λ(х-х1)

y2-y1= λ(y-y1)

перепишем пропорцию как

4. Понятие бюджетного множества. Примеры. 3.1

Пусть Q1 и Q2-кол-во ресурсов I и II вида

Р1 и Р2 – цены на ресурсы

К- деньги у потребителя (бюджет)

Значит, Q1*P1+Q2*P2<=K

Значит Ясно, что любой точке А внутри бюджетного множества соответствует набор ресурсов, которые может позволить себе потребитель.

4. Вывод уравнения плоскости, нормальный вектор плоскости. 3.2

Так как вектор n перпендикулярен MM0, то их скалярное произведение равно нулю.

А(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 Раскрыв скобки получим Ax+By+Cz+D=0 (D-остатки) Если задано уравнение плоскости, то вектора n(A B C) ортогонален этой плоскости.

4. Частные случаи уравнения плоскости. 3.2

1) By + Cz + D = 0 - параллельна оси Ox;

2) Ax + Cz + D = 0 - параллельна оси Oy;

3) Ax + By + D = 0 - параллельна оси Oz;

4) Cz + D = 0 - параллельна оси Oxy;

5) By + D = 0 - параллельна оси Oxz;

6) Ax + D = 0 - параллельна оси Oyz;

7) Ax + By + Cz = 0 - проходит через начало координат;

8) By + Cz = 0 - проходит через ось Ox;

9) Ax + Cz = 0 - проходит через ось Oy;

10) Ax + By = 0 - проходит через ось Oz;

11) z = 0 - плоскость Oxy;

12) y = 0 - плоскость Oxz;

13) x = 0 - плоскость Oyz.

4. Вывод уравнения плоскости, проходящей через три заданной точки. 3.2

M 1(x1 y1 z1)

M3(x3 y3 z3)

M2(x2 y2 z2)

Так как все три точки лежат в одной плоскости, то указанные на рисунке векторы компланарны (лежат в одной плоскости). В силу условия компланарности смешанное произведение этих векторов равно нулю.

Расписываем характеристическое уравнение по первой строке, сокращаем и получаем уравнение Ax+By+Cz+D=0

4. Уравнение прямой в пространстве - общее и каноническое. 3.3

Каноническое уравнение

Возьмем на прямой точку М0. Образуем вектор а, коллинеарный этой прямой. Вектора а – направляющий вектор прямой. Возьмем точку М (x y z) . Образуем вектор М0М. В силу коллинеарности векторов М0М и а

Отсюда получаем каноническое уравнение прямой в пространстве: