Различные формы остаточного члена

В форме Лагранжа:

В форме Коши:

В интегральной форме:

 — остаточный член в асимптотической форме (в форме Пеано, в локальной форме)

Билет 50)

Если расстояние от точки M кривой y = f(x) от некоторой прямой y = kx + b стремиться к нулю, когда точка M, двигаясь по кривой, удаляется в бесконечность, то прямая y = kx + b называется асимптотой кривой y = f(x).

Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) при x → a, если выполнено хотя бы одно из условий 

,

Прямая y = b называется горизонтальной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если 

Прямая y = kx + b, k ≠ 0 называется наклонной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если   Аналогично определяются горизонтальная и наклонная асимптоты при x → –∞.

Билет 49)

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b) и вогнутая на (b; c).

Пусть функция f(x) определена на интервале (a, b). Она

называется выпуклой вниз на интервале (a, b), если для любых точек x1 и x2,

a < x1 < x2 < b, и любых чисел α1 > 0 и α2 > 0 таких, что α1+α2 = 1, выполняется

неравенство

f(α1x1 + α2x2) 6 α1f(x1) + α2f(x2). (2.12.1)

Если для функции f справедливо обратное неравенство, то функция f называется

выпуклой вверх.

Всякий интервал, на котором функция выпукла вниз или

вверх, называется интервалом выпуклости функции.

Пусть функция f (x) непрерывна в точке   и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда точка   называется точкой перегиба функции f, если в этой точке изменяется направление ее выпуклости.

Необходимое условие наличия точки перегиба. Если   – точка перегиба функции f (x), и функция f (x) имеет вторую производную, непрерывную в этой точке, то 

Достаточные условия наличия точки перегиба.

Пусть функция f (x) непрерывна и имеет конечную или бесконечную производную в точке   Если   меняет знак при переходе через точку   то   – точка перегиба функции f (x).

Если     то   – точка перегиба функции f (x).

Билет 48)

Если производная некоторой непрерывной функции f(x) на некотором промежутке положительна (f'(x)>0), то на этом промежутке функция возрастает.

Если производная некоторой непрерывной функции f(x) на некотором промежутке отрицательна (f'(x)<0), то на этом промежутке функция убывает.

Эти условия являются достаточными условиями возрастания (убывания функции).

Пусть функция   определена в некоторой окрестности  ,  , некоторой точки   своей области определения. Точка   называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности   выполняется неравенство   (  ), и точкой локального минимума, если    .     

Необходимые условия существования локальных экстремумов

Из леммы Ферма вытекает следующее:

Пусть точка   является точкой экстремума функции  , определенной в некоторой окрестности точки  .

Тогда либо производная   не существует, либо  .

Достаточные условия существования локальных экстремумов

• Пусть функция   непрерывна в   и существуют конечные или бесконечные односторонние производные  . Тогда при условии

 является точкой строгого локального максимума. А если

то   является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке 

• Пусть функция   непрерывна и дважды дифференцируема в точке  . Тогда при условии

 и 

 является точкой локального максимума. А если

 и 

то   является точкой локального минимума.

• Пусть функция   дифференцируема   раз в точке   и  , а  .

Если   чётно и  , то   - точка локального максимума. Если   чётно и  , то   - точка локального минимума. Если   нечётно, то экстремума нет.

Билет 47)

Правило Бернулли-Лопиталя — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида   и  . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Условия:

1.  или  ;

2.  и   дифференцируемы в проколотой окрестности  ;

3.  в проколотой окрестности  ;

4. существует  ,

тогда существует  .

Пределы также могут быть односторонними

Билет 46)

  Пусть     – некоторая дифференцируемая функция, производная от которой     также является дифференцируемой функцией. Производная функции     обозначается символическим выражением     и называется второй производной(или производной второго порядка) функции   :

Запись вида

позволяет указать в явной форме переменную, по которой выполняется дифференцирование функции. Однако такое обозначение является достаточно громоздким и поэтому обычно используется его сокращенная форма:

Во многих задачах функция  y(x) задана неявным образом. Например, для приведенных ниже функций

невозможно получить зависимость y(x) в явном виде.  Алгоритм вычисления производной  y'(x) от неявной функции выглядит следующим образом:

• Сначала необходимо продифференцировать обе части уравнения по отношению к x, предполагая,  что y - это дифференцируемая функция x и используя правило вычисления производной от сложной функции;

• Решить полученное уравнение относительно производной  y'(x).

Производную функции  , заданной параметрически, можно выразить через производные функций   и  : поскольку   и, по формуле производной обратной функции,  , то

где   -- значение параметра, при котором получается интересующее нас при вычислении производной значение  .

Билет 45)

Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [а, b], имеет внутри интервала производную и если

f(a) = f(b)

то внутри интервала [а, b] найдется хотя бы одно такое значение x₀ (a < x₀ < b), что

f ' (x₀) = 0.

Доказательство.  Функция f(x) постоянна на интервале [а, b]; тогда f ' (x) = 0 для любого x (a < x < b), т.е. утверждение теоремы Ролля выполняется автоматически.

Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [а, b] и внутри него имеет производную f ' (x), то найдется хотя бы одно такое значение x₀ (a < x₀ < b), что

f(b) - f(a) = (b - a)f '(x).

Теорема Коши о среднем значении является обобщением теоремы Лагранжа о конечных приращениях.

Пусть даны две функции   и   такие, что:

1.  и   определены и непрерывны на отрезке  ;

2. производные   и   конечны на интервале  ;

3. производные   и   не обращаются в нуль одновременно на интервале 

4. ;

тогда существует  , для которой верно:

.

(Если убрать условие 4, то необходимо, например, усилить условие 3: g'(x) не должна обращаться в нуль нигде в интервале  .)

Доказательство

Для доказательства введём функцию

Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны  . Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка  , в которой производная функции   равна нулю, а   равна как раз необходимому числу.

44

Если х - независимая переменная и y = f(x) - дифференцируемая функция, то dx = f'(x)dx, т. е. дифференциал функции есть функция, зависящая от двух аргументов х и dx. Этот дифференциал будем называть также дифференциалом первого порядка (или первым дифференциалом).

Считая dx постоянной, получаем, что df(x) - функция одной переменной. Предположим, что функция у = f(x) имеет не только первую производную, но и n последовательных производных y" = f"(x), y’” = f”’(x).

Дифференциал от дифференциала функции у = f{x) называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d2y = d(dy), причем

Дифференциалом n-го порядка

Смотрите пример вычисления дифференциалов первого и второго порядков