5. Волновая функция

    Наличие у частицы волновых свойств приводит к тому, что в квантовой физике ей сопоставляется волновая функция  (x,y,z,t).     Физический смысл волновой функции. Величина | (x,y,z,t)|²dV пропорциональна вероятности того, что частица будет обнаружена в момент времени t в объеме dV в окрестности точки (x,y,z).     Волновая функция системы невзаимодействующих частиц  (r₁,r₂,...r_n,t) связана с одночастичными волновыми функциями  _i(r_i,t) соотношением

(r₁,r₂,...r_n,t) =  ₁(r₁,t)· ₂(r₂,t)·... _n(r_n,t).

Свободное движение частицы

    Волновая функция свободно движущейся частицы с энергией E и импульсом p имеет вид

  (r,t) = Aexp[i(kr -  t)] = Aexp[i(pr - Et)/ ] .

    Константа A может быть найдена из условия нормировки волновой функции

A = (2 )^-3/2.

Т.е. в тех случаях, когда частица находится в области пространства, где действующие на нее силы равны нулю (свободное движение), энергия частицы может принимать любые значения. Энергетический спектр свободно движущейся частицы непрерывный.

Частица в прямоугольной яме с бесконечными стенками

    Если область пространства, в которой может находится частица ограничена, возникает дискретный спектр энергий. Рассмотрим это на примере одномерной прямоугольной ямы c бесконечными стенками

Частица всегда находится в области 0 < x < a. Вне ее   = 0. Запишем уравнение Шредингера для одномерного случая

(1)

Его решение

= Asin kx + Bcos kx,

(2)

где k = (2mE/ ²)^1/2. Из граничных условий и условий непрерывности имеем

Asin ka = 0. (3) Из (3) получим ka = n , n = 1, 2, ..., (4) т.е. внутри ямы устанавливаются стоячие волны, а энергия состояний принимает дискретные значения En = p2/2m =  k2/2m =  2 2n2/(2ma2). (5) Энергии состояний растут квадратично от n.

Рис. 1

Каждому значению энергии соответствует волновая функция, которую с учетом условия нормировки

(6)

можно записать в виде

n = (2/a)1/2sin (n x/a)

(7)

(см. рис.1). В отличие от классической частицы, квантовая частица в прямоугольной яме не может иметь энергию E <  ^{2 2}/(2ma²).

Частица в потенциале гармонического осциллятора

    Потенциал гармонического осциллятора (так же, как и в предыдушем примере рассмотрим одномерный случай)

n = kx2/2 = m 0x2/2.

(8)

где  ₀= (k/m)^1/2 - собственная частота колебаний гармоничекого осциллятора. Решение уравнения Шредингера для этого потенциала можно записать в виде

n = hn(x)e-b(x),

(9)

где h_n(x) - полиномы степени n, b(x) = (km)^1/2x²/2 . Спектр значений энергий имеет вид

En =  0(n + 1/2),     n = 0, 1, ...

(10)

    Энергетический спектр гармонического осциллятора эквидистантный - уровни находятся на одинаковом расстоянии друг от друга.