5. Пуассоновский входной поток

Для моделирования СМО требуется использовать пуассоновский входной поток, так как он является наиболее близким по своим свойствам к интенсивности входных потоков на АТС. Данный поток имитируется по следующему правилу: у абонента в каждую единицу времени с вероятностью генерируется i сообщений. Для реализации данного входного потока в лабораторной работе используется массив содержащий значения вероятностей генерации i сообщений при заданной интенсивности входного потока λ. При генерации сообщений генерируется случайное число принадлежащее интервалу [0 .. 1], далее, в зависимости от сгенерированного числа, выбирается количество сообщений генерируемых абонентом.

rand

1

0

Рис. 3 Моделирование распределения Пуассона

6. Асинхронная система массового обслуживания

Для вычисления времени средней задержки отправки сообщения в системе необходимо рассмотреть асинхронную СМО состоящую из 1 абонента и обслуживающей системы. Схема данной системы представлена на рисунке 1.

Мат. ожидание задержки в асинхронной СМО равняется , где – средняя величина задержки при возникновении сообщения в интервале окна, а – сумма задержки учитывающая как время, требуемое для отправки сообщения в систему, т.е. одно окно, так и очередь абонента, в зависимости от которой абонент либо будет отправлять текущее сообщение, либо все находящиеся в начале очереди сообщения. При установлении , среднее время задержки становится равным . Иллюстрация зависимости средней задержки (без учёта случайной задержки возникновения сообщения в интервале окна) между появлением сообщения и окончанием его отправки показана на рисунке 4. В системе с нулевой интенсивностью входного потока очередь абонента всегда будет пуста и средняя задержка отправки сообщения будет равна .

В ходе моделирования системы под задержкой рассматривался интервал между возникновением сообщения и началом его отправки в систему, поэтому необходимо рассмотреть изменённую формулу: . Данная формула будет учитываться далее при вычислении итоговой теоретической оценки задержки в системе.

Рис. 4 Зависимость задержки в асинхронной СМО от интенсивности входного потока

Y: теоретическая задержка; X: интенсивность входного потока

7. Имитационное моделирование

Для имитационного моделирования СМО с использованием доступа с разделением по времени использовались следующие допущения:

1. Всё время моделирования разбито на окна, длина окна равна единице времени

2. В системе имеется фиксированное количество абонентов N

3. Задана входная интенсивность λ; абоненты генерируют сообщения в каждом окне, используя распределение Пуассона, с интенсивностью

4. В системе не учитывается задержка возникновения сообщения в случайное время окна

5. В качестве задержки высчитывается , где окно, в котором сообщение было сгенерировано; окно, в котором сообщение выходит из системы

6. В системе не учитывается время, необходимое для отправки сообщения, т.е. сообщение выходит из системы мгновенно

Рис. 5 Сравнение теоретической и практической оценки пустой системы

На 5 рисунке представлена теоретическая и практическая зависимости задержки в системе состоящей из одного абонента. Как видно из графика, значения полученные при моделировании асинхронной СМО совпадают с теоретическими расчётами.

Рис. 6 Зависимость задержки от количества абонентов при фиксированной интенсивности входного потока (λ = )

Большей λ соответствует прямая с большим углом наклона.

Y: средняя задержка; X: количество абонентов

Графики на шестом рисунке построены при фиксированной интенсивностью входного потока для каждого. На графике видно, что величина задержки возрастает линейно с ростом числа абонентов в системе, когда величина интенсивности входного потока лишь изменяет скорость роста.

Рис. 7 Зависимость задержки от интенсивности входного потока при фиксированном числе абонентов (от 1 до 5 абонентов).

Кривые расположены по возрастанию числа абонентов.

Y: величина задержки; X: интенсивность входного потока

Данные графика показывают, что при росте числа абонентов возрастает начальная задержка, причём её значение совпадает с теоретическим значением, описанным в четвёртом пункте отчёта ( ).

Учитывая данные полученные при анализе графика на 5-7 рисунках, можно выдвинуть гипотезу о том, что суммарная задержка равняется сумме изначальной задержки и задержки очереди абонента, частичное вычисление которой было описано в 6 пункте отчёта, но с учётом линейной зависимости указанной на 6 рисунке, должна быть помножена на константу. Итоговая формула гипотезы выглядит так: .

Для проверки гипотезы необходимо сравнить её с практическими значениями полученными при моделировании. Для сравнения были выбраны системы с 3 и 5 абонентами при изменяющейся интенсивности входного потока. Результаты сравнения представлены на 8 рисунке.

Данные полученные при имитационном моделировании при сравнении с гипотетической оценкой подтверждают гипотезу указанную выше.

Рис. 8 Теоретическая и практическая задержка в системе состоящей из 3, 5 абонентов