9) Электрическое поле равномерно заряженного шара.

Если заряд распределён в объёме тела, то можно для его описания можно использовать объёмную плотность заряда. Выделим в теле малый объём ΔV, пусть его заряд Δq. Тогда объёмная плотность заряда равна ρ=Δq/ΔV. Если заряд распределён равномерно, то ρ=q/V.

Рассмотрим электрическое поле равномерно заряженного шара. Напомним, что объём шара равен V=(4/3)πR³. Тогда его заряд q=(4/3)πR³ρ. Напряжённость поля вне шара можно найти так же, как и вне сферы:            |q|       4πR³ρ  Е=k——=k——— при r>R.            εr²       3εr²

Д ля нахождения напряжённости внутри шара применим теорему Гаусса для сферической поверхности радиусом r<R. По соображениям симметрии вектор напряжённости перпендикулярен ей и одинаков по модулю в любой её точке. По теореме Гаусса:                        q            4πr³ρ  4πr²E_n=4πk—=4πk———, тогда                        ε                3ε          4π  E=k—ρr при r<R.          3ε

Напряжённость поля внутри шара линейно растёт с увеличением расстояния от его центра. Если мы рассматриваем действие поля шара на заряд, находящийся на расстоянии r от его центра, то шар можно мысленно разделить сферой радиусом r на две части. Действие поля равно действию поля внутренней части, а внешняя поля не создаёт (внутри себя заряженная сфера поля не создаёт). Вот ещё одно сходство взаимодействия зарядов с законом всемирного тяготения: ускорение свободного падения a=F_т/m внутри сферического однородного тела (например, Земли) также обратно пропорционально расстоянию до центра, как и напряжённость E=F_к/q.

10)Работа сил электрического поля. Потенциал.

Работа перемещения заряда. На положительный точечный заряд q в электрическом поле с напряжённостью E действует сила  F = q E. При перемещении заряда на отрезке dl силами поля совершается работа

dA = F dl = q E dl cos (E, dl).

При перемещении заряда q силами электрического поля на произвольном конечном отрезке из точки 1 в точку 2 эта работа равна

 .

Рассмотрим перемещение точечного заряда q в поле точечного заряда Q, напряженность поля которого 

 .

Проекция отрезка dl на направление вектора E (рис. 1.5) есть dr = dl cos (E, dl).

Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2, определяется следующим образом:

Отсюда следует, что работа сил электрического поля не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечным положениями заряда q. Если оба заряда, q и Q, положительны, то работа сил поля положительна при удалении зарядов и отрицательна при их взаимном сближении.

Для электрического поля, созданного системой зарядов Q₁, Q₂,¼, Q_n, работа перемещения заряда q равна алгебраической сумме работ составляющих сил:

 .

Для определения потенциальной энергии необходимо условиться, в какой точке поля считать ее равной нулю. Для потенциальной энергии точечного заряда q, находящегося в электрическом поле, созданном другим точечным зарядом Q, получим

 ,

где C – произвольная постоянная. Пусть потенциальная энергия равна нулю на бесконечно большом расстоянии от заряда Q (при r ® ¥), тогда постоянная C = 0 и предыдущее выражение принимает вид

 .

При этом потенциальная энергия определяется как работа перемещения заряда силами поля из данной точки в бесконечно удаленную. В случае электрического поля, создаваемого системой точечных зарядов, потенциальная энергия заряда q:

 .

Электростатический потенциа́л (см. также кулоновский потенциал) — скалярная энергетическая характеристикаэлектростатического поля, характеризующая потенциальную энергию поля, которой обладает единичный заряд, помещённый в данную точку поля. Единицей измерения потенциала является, таким образом, единица измерения работы, деленная на единицу измерения заряда (для любой системы единиц; подробнее о единицах измерения — см. ниже).

Электростатический потенциал — специальный термин для возможной замены общего термина электродинамики скалярный потенциал в частном случае электростатики (исторически электростатический потенциал появился первым, а скалярный потенциал электродинамики — его обобщение). Употребление термина электростатический потенциал определяет собой наличие именно электростатического контекста. Если такой контекст уже очевиден, часто говорят просто о потенциале без уточняющих прилагательных.

Электростатический потенциал равен отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда:

Напряжённость электростатического поля   и потенциал   связаны соотношением^[1]

или обратно^[2]:

Здесь   — оператор набла, то есть в правой части равенства стоит минус градиент потенциала — вектор с компонентами, равными частным производным от потенциала по соответствующим (прямоугольным) декартовым координатам, взятый с противоположным знаком.

Воспользовавшись этим соотношением и теоремой Гаусса для напряжённости поля  , легко увидеть, что электростатический потенциал удовлетворяетуравнению Пуассона. В единицах системы СИ:

где   — электростатический потенциал (в вольтах),   — объёмная плотность заряда (в кулонах на кубический метр), а   — диэлектрическая проницаемость вакуума (вфарадах на метр).