4. Понятие о многомерном корреляционном анализе. Множественный и частный коэффициенты корреляции

Экономические явления чаще всего адекватно описываются многофакторными моделями. Поэтому возникает необходимость обобщить рассмотренную выше двумерную корреляционную модель на случай нескольких переменных.

Пусть имеется совокупность случайных переменных Х\,Х2,..., Х„ ...,А), ..., Хр, имеющих совместное нормальное распределение. В этом случае матрицу

составленную из парных коэффициентов корреляции />/, (/, }- 1, 2, ..., р), определяемых по формуле (9.2), будем называть корреляционной. Основная задача многомерного корреляционного анализа состоит в оценке орреляционной матрицы Ор по выборке. Эта задача решается определением матрицы выборочных коэффициентов корреляции:

где (i, = 1,2, ..., р) определяется по формуле (12.30) или ее модификациям.

Множественный коэффициент корреляции. Теснота линейной взаимосвязи одной переменной X, с совокупностью других (р — 1) переменных X, рассматриваемой в целом, измеряется с помощью множественного (или совокупного) коэффициента корреляции р,. ,2 р, который является обобщением, парного коэффициента корреляции р0. Выборочный множественный, или совокупный, коэффициент корреляции КП2---р, являющийся оценкой может быть вычислен по формуле:

где ρ — определитель матрицы;

В частности, в случае трех переменных (р - 3) и (12.67) следует, что

Множественный коэффициент корреляции заключен в пределах 0 < R < 1. Он не меньше, чем абсолютная величина любого парного или частного коэффициента корреляции с таким же первичным индексом.

С помощью множественного коэффициента корреляции делается вывод о тесноте взаимосвязи, но не о ее направлении. Величина R², называемая выборочным множественным (или совокупным) коэффициентом детерминации, показывает, какую долю вариации исследуемой переменной объясняет вариация остальных переменных.

Можно показать, что множественный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, если значение статистики

Частный коэффициент корреляции. Если переменные коррелируют друг с другом, то на величине парного коэффициента корреляции частично сказывается влияние других переменных. В связи с этим часто возникает необходимость исследовать частную корреляцию между переменными при исключении (элиминировании) влияния одной или нескольких других переменных.

Выборочным частным коэффициентом корреляции между переменными X/ и Л/ при фиксированных значениях остальных (р — 2) переменных называется выражение

5. Множественный регрессионный анализ

Экономические явления, как правило, определяются большим числом одновременно и совокупно действующих факторов. В связи с этим часто возникает задача исследования зависимои одной зависимой переменной от нескольких объясняющих переменных Х\,Х2,...,Х„. Эта задача решается с помощью множественного регрессионного анализа.

Обозначим /-е наблюдение переменной у , а объясняющих переменных — Тогда модель множественной линейной регрессии можно представить в виде:

где i=1,2,...,й, а е, удовлетворяет приведенным выше предпосылкам (13.3)-(13.5).

Включение в регрессионную модель новик объясняющих переменных усложняет получаемые формулы и вычисления. Это приводит к целесообразности использования матричных обозначений. Матричное описание регрессии облегчает как теоретические концепции анализа, так и необходимые расчетные процедуры.

Введем обозначения: У = (у[ у? ... у„У — матрица-столбец, или вектор, значений зависимой переменной размера л¹;

— матрица значений объясняющих переменных, Тогда в матричной форме модель (22) примет вид:

Для оценки вектора неизвестных параметров р применим метод наименьших квадратов. Так как произведение транспонированной матрицы е¹ на саму матрицу е

то условие минимизации остаточной суммы квадратов запишется в виде:

Учитывая, что при транспонировании произведения матриц получается произведение транспонированных матриц, взятых в обратном порядке, т.е.

получим после раскрытия скобок:

Произведение У'ХЬ есть величина скалярная, следовательно, оно не меняется при транспонировании: . Поэтому условие минимизации (24) примет вид:

На основании необходимого условия экстремума функции нескольких переменных, представляющей (13.24), необходимо приравнять нулю частные производные по этим переменным или в матричной форме — вектор частных производных

Для вектора частных производных доказаны следующие формулы:

где Ь и с — вектор-столбцы, а А — симметрическая матрица, в которой элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны. Поэтому, полагая с = Х'У, а матрицу А = Х'Х (она является симметрической — см. (26)), найдем

откуда получаем систему нормальных уравнений в матричной форме для определения вектора Ь:

Найдем матрицы, входящие в это уравнение². Матрица Х'Х представляет матрицу сумм первых степеней, квадратов и попарных произведений п наблюдений объясняющих переменных:

Матрица Х'У есть вектор произведений п наблюдений объясняющих и зависимой переменных:

(25)

Для решения матричного уравнения (25) относительно вектора оценок параметров Ь необходимо ввести еще одну предпосылку 6 для множественного регрессионного анализа: матрица Х'Х является неособенной, т.е. ее определитель не равен нулю. Следовательно, ранг матрицы Х'Х равен ее порядку, т.е. г (Х'Х) =р+1. Решением уравнения (25) является вектор

Зная вектор Ь, выборочное уравнение множественной регрессии представим в виде:

На практике часто бывает необходимо сравнение влияния на зависимую переменную различных объясняющих переменных, когда последние выражаются разными единицами измерения. В этом случае используют стандартизованные коэффициенты регрессии Ц и коэффициенты эластичности Е: