Лекція № 2. Основи математичної логіки

1. Логічні вислови|висловлювання|, зв'язки|в'язки| і операції

Вислів|висловлювання| – мовний вираз|вираження|, що має сенс, щодо|відносно| якого можна стверджувати, що воно або істинно (True), або помилково (False). Замість слів True і False часто уживаються числа „1” і „0” відповідно.

Приклад|зразок| 2.1. Маємо два вислови|висловлювання|: «Двічі два чотири» і «3+5=9». Перший вислів|висловлювання| має дійсне значення, а друге – помилкове.

Якщо відвернутися від сенсу|змісту,рації| вислову|висловлювання|, його можна позначити буквою|літерою| і розглядати|розглядувати| як змінну. Використовуючи логічні зв'язки|в'язки|: «НЕ», «І», «АБО», «ЯКЩО ..., ТО...» та інші – можна з|із| одних висловів|висловлювань| будувати нові вислови|висловлювання|. Побудова|шикування| із|із| заданих висловів|висловлювань| нового вислову|висловлювання| називається логічною операцією.

Логічні зв'язки|в'язки| можуть бути одномісні (унарні), двомісні (бінарні), тримісні (тернарні|) і т.д. В алгебрі логіки логічні операції найчастіше описуються за допомогою таблиць істинності. Для одномісної операції «не» («інверсія») таблиця істинності виглядає так.

Таблиця 2.1.

«А»	«не А»
0	1
1	0

«Не А» позначається|значиться| як А, або Ā, або ~А, або !A. У табл. 2.2 приведені основні двомісні логічні операції.

Таблиця 2.2

Позначення логічної операції	Інші позначення логічної операції	Набір істиннісних значень	Назва логічної операції і зв'язку	Як читається вираз|вираження|
А1 & А2	А1 А2 А1*А2 А1А2 min (А1,А2)	0001	Кон'юнкція, логічне множення, логічне «І»	А1 і А2
А1А2	А1+А2 max (А1,А2)	0111	Диз'юнкція, логічне складання, логічне «АБО»	А1 або А2
А1А2	А1 А2 А1 А2	1101	Імплікація, логічне проходження|дотримання|	Якщо А1, то А2; А1 імплікує| А2; А1 вабить|спричиняє| А2
А1А2	А1+А2 А1А2	0110	Сума по модулю 2, розділова диз'юнкція, розділове «АБО»	А1 плюс А2; або А1, або А2
А1~А2	А1 А2 А1 А2 А1 А2	1001	Еквівалентність, рівнозначність, тотожність	А1 тоді і тільки|лише| тоді, коли А2; А1эквивалентно А2
А1|А2		1110	Штрих Шефера, антикон'юнкція	Невірно, що А1 і А2; А1 штрих Шефера А2
А1А2	А1 А2 А1 А2	1000	Стрілка Пірсу, антидиз'юнкція, функція Вебба, функція| Даггера	Ні А1, ні А2; А1 стрілка Пірсу А2