2. Алгебраический и векторный моменты силы относительно точки. Момент силы относительно оси

Если под действием приложенной силы твердое тело может совершать вращение вокруг некоторой точки, то для того, чтобы охарактеризовать вращательный эффект силы вводится понятие – момент силы относительно точки (или центра).

Моментом силы относительно точки (рисунок 1.1) называется векторное произведение радиус-вектора  точки  приложения силы на вектор силы. 

                                                M_o(F) = r ⊗ F

Рисунок 1.1

Вектор момента направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и точка, в ту сторону, откуда поворот от действия силы виден происходящим против хода часовой стрелки. Вектор момента характеризует положение плоскости и направление вращательного действия силы, а также дает меру этого действия:

 |M_o(F)| = F⋅r⋅sinα = F⋅h,

где  h – плечо силы (кратчайшее расстояние от точки  O – центра момента – до линии действия силы). Если сила проходит через точку, то ее момент относительно этой точки равен нулю.

Момент силы относительно точки не меняется от переноса силы вдоль линии ее действия.

Если силы расположены в одной плоскости, то используется понятие алгебраического момента силы. Алгебраическим моментом силы относительно точки (или центра) называется взятое со знаком плюс или минус произведение модуля силы на плечо (рисунок 1.2). 

Знак плюс выбирается в том случае, если сила стремится поворачивать плоскость относительно центра момента против хода часовой стрелки.

 

Рисунок 1.2

Если сила F  задана своими проекциями F_x, Fy, F_z  на оси координат и даны координаты x, y, z  точки приложения этой силы, то момент силы относительно начала координат вычисляется следующим образом:

Проекции момента силы   на оси координат равны

Для характеристики вращательного действия силы на тело, закрепленное на оси, служит момент относительно оси – алгебраический момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную к оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью (рисунок 1.3). 

М омент считается положительным, если проекция силы на плоскость, перпендикулярную к оси, стремится вращать тело вокруг положительного направления оси против движения часовой стрелки, и отрицательным, если она стремится вращать тело по движению часовой стрелки:

 M_z(F) = M_o(F_П) = ±hF_П,

где F_П  – вектор проекции силы F  на плоскость  П, перпендикулярную к оси  Oz, точка O  – точка пересечения оси Oz  с плоскостью  П.

Свойства момента относительно оси:

1) момент равен нулю, если сила параллельна оси. В этом случае равна нулю проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси;

2) момент равен нулю, если линия действия силы пересекается с осью. В этом случае равно нулю плечо силы.

Другими словами, момент относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.

3. Связь между векторным моментом силы относительно точки, расположенной на оси и моментом силы относительно этой оси.

Проведем через точку  O, где задан момент силы относительно точки M_o(F)  декартовы оси координат  x, y, z (рисунок 1.4).

Момент силы относительно точки можно представить в виде суммы трех векторов

M_o(F) = M_x(F)i + M_y(F)j + M_z(F)k.

 .

Рисунок 1.4

Эти вектора являются моментами силы относительно осей x, y, z:

 M_x(F) = |M_o(F)|cos(i, M_o(F)),

 M_y(F) = |M_o(F)|cos(j, M_o(F)), 

M_z(F) = |M_o(F)|cos(k, M_o(F)),

     

Момент силы относительно оси равен проекции на эту ось момента силы относительно любой точки на оси.