Теорема о движении центра масс механической системы.

. Уравнение движения механической системы: ; ; .

Теорема: Центр масс механической системы движется как материальная точка, обладающая массой механической системы, к которой приложены все внешние силы, действующие на данную механическую систему.

Следствия:

1. внутренние силы не влияют на движение механической системы.

2. если главный вектор всех внешних сил равен нулю, то центр масс находится в состоянии покоя или движется равномерно и прямолинейно.

3. если проекция главного вектора всех внешних сил на какую-либо ось равна нулю, то проекция центра масс неподвижна или движется равномерно и прямолинейно.

Главная ось инерции - ось, относительно которой центробежный момент равен нулю. Если для тела существует материальная ось симметрии, то главная ось инерции совпадает с ней. Если все центробежные моменты инерции равны нулю, то каждая из осей является главной осью инерции.

Главная центральная ось инерции - центральная ось инерции, проходящая через центр масс.

Главные моменты инерции - моменты инерции относительно главных осей

2) Кинетический момент механической системы относительно центра и оси.

Кинетический момент относительно полюса - главный момент количества движения механической системы относительно полюса - вектор, равный геометрической сумме момента количества движения всех точек системы относительно того же полюса:

Кинетический момент относительно оси - скаляр, равный алгебраической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно той же оси:

Кинетический момент вращающегося твердого тела относительно оси вращения равен произведению угловой скорости на момент инерции тела относительно оси вращения: ; .

В механике, степени свободы — это совокупность независимых координат перемещения и/или вращения, полностью определяющая движение и/или положение тела или системы тел. Это фундаментальное понятие применяется в теоретической механике, теории механизмов и машин, машиностроении, авиационной промышленности, робототехнике и других областях.

Твёрдое тело, движущееся в трёхмерном пространстве, максимально может иметь шесть степеней свободы: три поступательных и три вращательных.

Автомобиль, если его рассматривать как твёрдое тело, перемещается по плоскости, а точнее говоря, по некоторой двумерной поверхности (в двумерном пространстве). Он имеет три степени свободы (одну вращательную, и две поступательные).

Поезд вынужден перемещаться по рельсовому пути, и поэтому он имеет только одну степень свободы.

Билт 27 1) Уравнениями Лагранжа второго рода называют дифференциальные уравнения движения механической системы, получаемые при применении лагранжева формализма.

Вид уравнений

Если голономная механическая система описывается лагранжианом (qi — обобщённые координаты, t — время, точкой обозначено дифференцирование по времени) и в системе действуют только потенциальные силы, то уравнения Лагранжа второго рода имеют вид

где i = 1, 2, … n (n — число степеней свободы механической системы).

Если в системе действуют непотенциальные силы (например, силы трения), уравнения Лагранжа второго рода имеют вид

Где — кинетическая энергия системы, Qi — обобщённая сила.

Вывод уравнений

В лагранжевой механике вывод уравнений Лагранжа происходит на основе принципа наименьшего действия. Механическая система может быть описана некой функцией , называемой лагранжианом. Принцип наименьшего действия гласит, что функционал

называемая действием принимает минимальное значение на траектории системы (здесь t1 и t2 — начальный и конечный моменты времени).

Применяя к функционалу действию стандартную схему оптимизации, получаем уравнения Лагранжа — Эйлера, которые и называются уравнениями Лагранжа второго рода для механической системы.

2) Из принципа относительности Эйнштейна, утверждающего инвариантность всех законов природы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, следует условие инвариантности уравнений физических законов относительно преобразований Лоренца. Основной закон динамики Ньютона

оказывается также инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нем справа стоит производная по времени от релятивистского импульса.

1) Непнерииальные системы отсчета (НСО)

Определение: Неинерпиальной системой отсчета (НСО) называется система, движущаяся ускоренно относительно инерцнальной (ИСО). Простейшие НСО - это системы, движущиеся ускоренно прямолинейно, и системы врашаюшиеся. Задача состоит в том. чтобы найти уравнения движения в НСО. эта задача сводится к установлению законов преобразования сил и ускорений при переходе от ИСО к НСО

Условимся считать произвольно выбранную ИСО неподвижной, а движение относительно нее абсолютным. Если тело неподвижно в системе отсчета, которая движется относительно выбранной ИСО. то такое движение тела назовем переносным.

Движение тела относительно движущейся системы отсчета назовем относительным.