Тема 1.4 Элементы механики твердого тела.

1.4.1 Равнение движения и равновесия твердого тела

Так как твердое тело является механической системой с шестью степенями свободы, то для описания его движения требуется шесть независимых числовых уравнений или два независимых векторных уравнения.

Одно из них - это уравнение движения центра масс С

, где  . (1)

Второе - уравнение моментов

. (2)

Если твердое тело покоится, то уравнения (1) и (2) переходят в

. (3)

Это необходимые условия равновесия твердого тела. Но они не являются достаточными. При их выполнении центр масс может двигаться прямолинейно и равномерно с произвольной скоростью, а само тело может вращаться с сохранением момента импульса. Такое движение твердого тела называют свободным. Следует отметить, что даже свободное движение твердого тела может быть очень сложным. Поэтому сначала рассмотрим простейший случай движения твердого тела.

Статически неопределимыми называются такие системы, опорные реакции в которых и (или) внутренние усилия невозможно определить только из уравнений статики (уравнений равновесия).

По сравнению с системами статически определимыми указанные системы имеют дополнительные связи, которые называют лишними связями.Усилия, возникающие в лишних связях, называют лишними неизвестными.

Термин «лишние» следует понимать как «избыточные», а не как «ненужные». Наличие лишних связей делает систему более жёсткой и более экономичной.

Степенью статической неопределимости n называется разность между числом неизвестных искомых усилий Н и числом независимых уравнений равновесия У для их нахождения: n = Н – У.

На рис. 10.1 показаны системы один раз статически неопределимые: балка, для которой можно составить три уравнения равновесия при четырёх неизвестных реакциях R₁–R₄; шарнирно-стержневая система, для которой можно составить два уравнения равновесия при трёх неизвестных усилиях N₁–N₃; вал, для которого можно составить одно уравнение равновесия при двух неизвестных моментах М₁ и М₂.

Рис. 10.1. Статически неопределимые системы:  а – при изгибе; б – при растяжении; в – при кручении

 

Для расчета статически неопределимых систем применяют несколько методов, из которых в сопротивлении материалов рассматривают метод сил.

Момент инерции твердого тела.

 

Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться относительно некоторой оси (рис.). Момент импульса i-й точки тела относительно этой оси определяется формулой:

.                                         (1.84)

Выражая линейную скорость точки через угловую скорость тела и используя свойства векторного произведения, получим

               (1.85)

Спроектируем момент импульса на ось вращения: — эта проекция определяет момент относительно этой оси. Получим

.                              (1.86)

где z_i,- координата i—точки вдоль оси Z, a R_i, — расстояние точки от оси вращения. Суммируя по всем частицам тела, получим момент импульса всего тела относительно оси вращения:

.                                               (1.87)

Величина

                                                (1.88)

является моментом инерции тела относительно оси вращения. Момент импульса тела относительно данной оси вращения принимает, таким образом, вид:

M_z = J·ω.                                                     (1.89)

Полученная формула аналогична формуле P_z = mV_z для поступательного движения. Роль массы играет момент инерции, роль линейной скорости — угловая скорость. Подставив выражение (1.89) в уравнение для момента импульса (2.74), получим

J·β_z = N_z.                                                     (1.90)

где β_z. — проекция на ось вращения углового ускорения  . Это уравне­ние эквивалентно по форме второму закону Ньютона.

В общем случае несимметричного тела вектор M не совпадает по направлению с осью вращения тела и поворачивается вокруг этой ocи вместе с телом, описывая конус. Из соображений симметрии ясно что для однородного тела, симметрично­го относительно оси вращения, момент импульса относительно точки, лежащей на оси вращения, совпадает с направлением оси вращения. В этом случае имеет место соотношение:

.                                                     (1.91)

Из выражения (1.90) следует, что при равенстве нулю момент внешних сил произведение Jω остается постоянным Jω = const и изменение момента инерции влечет за собой соответствующее изменение угловой скорости вращения тела. Этим объясняется известное явление, состоящее в том, что человек, стоящий на вертящейся скамье, разводя руки в стороны либо прижимая их к туловищу, изменяет частоту вращения.

Из полученных выше выражений ясно, что момент инерции является такой же характеристикой свойства инерции макроскопического тела в отношении вращательного движения, как инертная масса материальной точки в отношении поступательного движения. Из выражения (1.88) следует, что момент инерции вычисляется путем суммирования по всем частицам тела. В случае непрерывного распределения массы тела по его объему естественно перейти от суммирования к интегрированию, вводя плотность тела. Если тело однородно, то плотность определяется отношением массы к объему тела:

.                                                                 (1.92)

Для тела с неравномерно распределенной массой плотность тела в некоторой точке определяется производной

.                                                      (1.93)

Момент инерции представим в виде:

,                                 (1.94)

где DV — микроскопический объем, занимаемый точечной массой.

Поскольку твердое тело состоит из большого числа частиц, практически непрерывно заполняющих весь занимаемый телом объем, в выражении (1.94) микроскопический объем можно считать бесконечно малым, в то же время полагая, что точечная масса «размазана» по этому объему. Фактически мы производим сейчас переход от модели точечного распределения масс к модели сплошной среды, какой  в действительности и является твердое тело благодаря большой его плотности. Произведенный переход позволяет в формуле (2.94) заменить суммирование по отдельным частицам интегрированием по всему объему тела:

.                                           (1.95)

Рис. Вычисление момента инерции однородного диска

Здесь величины ρ и r являются функциями точки, например, ее декартовых координат.

Формула (1.95) позволяет вычислять моменты инерции тел любой формы. Вычислим в качестве примера момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр (рис.).

Поскольку диск однороден, плотность можно вынести из-под знака интеграла. Элемент объема диска dV = 2πr·b·dr, где b— толщина диска. Таким образом,

,              (1.96)

где R — радиус диска. Введя массу диска, равную произведению плотности на объем диска π·R² b, получим:

.                                                    (1.97)

Нахождение момента инерции диска в рассмотренном примере облегчалось тем, что тело было однородным и симметричным, а момент инерции вычислялся относительно оси симметрии тела. В общем случае вращения тела произвольной формы вокруг произвольной оси, вычисление момента инерции может быть произведено с помощью теоремы Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J₀ относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

J=J₀+ma².                                                    (1.98)

Например, момент инерции диска относительно оси О' в соответствии с теоремой Штейнера:

                                      (1.99)

Момент силы относительно оси

    Момент силы относительно оси, например  O_z (рисунок 1.18), равен алгебраическому моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную этой оси (F' ) относительно точки пересечения оси с плоскостью, т.е.

 M_z(F) = M_o(F') = F' h'.  (1.9)

    Момент считается положительным, если мы смотрим навстречу оси и видим проекцию силы, стремящуюся повернуть плоскость чертежа в направлении против хода часовой стрелки.

    Момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы пересекает ось, т.е. h=0  (например M_z(P)), или сила параллельна оси, т.е. ее проекция на плоскость равна нулю, например, M_z(Q)  . Момент силы относительно оси – скалярная величина. 

Рисунок 1.18

    Моменты силы относительно координатных осей можно получить, расписав векторное произведение

    Величины, стоящие в скобках, представляют собой моменты силы  F относительно соответствующих осей.

Движение твердого тела, при котором две его точки О и О' остаются неподвижными, называется вращательным движением вокруг неподвижной оси, а неподвижную прямую ОО' называют осью вращения.        Пусть абсолютно твердое тело вращается вокруг неподвижной оси ОО' (рис. 2.12).

  Рис. 2.12

       Проследим за некоторой точкой М этого твердого тела. За время  dt  точка М совершает элементарное перемещение  dr.         При том же самом угле поворота  dφ, другая точка, отстоящая от оси на большее или меньшее расстояние, совершает другое перемещение. Следовательно, ни само перемещение некоторой точки твердого тела, ни первая производная  , ни вторая производная   не могут служить характеристикой движения всего твердого тела.         За это же время dt радиус-вектор  , проведенный из точки 0' в точку М, повернется на угол  dφ. На такой же угол повернется радиус-вектор любой другой точки (т.к. тело абсолютно твердое, в противном случае расстояние между точками должно измениться).         Угол поворота  dφ  характеризует перемещение всего тела за время dt.         Удобно ввести   – вектор элементарного поворота тела, численно равный  dφ  и направленный вдоль оси вращения ОО' так, чтобы, глядя вдоль вектора, мы видели вращение по часовой стрелке (направление вектора   и направление вращения связаны «правилом буравчика»).         Элементарные повороты удовлетворяют обычному правилу сложения векторов:

       Угловой скоростью называется вектор  , численно равный первой производной от угла поворота по времени и направленный вдоль оси вращения в направлении   (   и   всегда направлены в одну сторону).

.

(2.4.1)

       Если  ω – const, то имеет место равномерное вращение тела вокруг неподвижной оси.  Пусть  v  – линейная скорость точки М. За промежуток времени dt точка М проходит путь dr = vdt. В то же время  dr = Rdφ  (dφ - центральный угол). Тогда, можно получить связь линейной скорости и угловой:

.

(2.4.2)

       В векторной форме  .         Вектор   ортогонален к векторам   и   и направлен в ту же сторону, что и векторное произведение  .         Наряду с угловой скоростью вращения используют понятия периода и частоты вращения.         Период Т – промежуток времени, в течение которого тело совершает полный оборот (т.е. поворот на угол φ = 2π).         Частота ν – число оборотов тела за 1 секунду.         При вращении с угловой скоростью ω имеем:

,          ,          .

       Введем вектор углового ускорения   для характеристики неравномерного вращения тела:

.

(2.4.3)

       Вектор   направлен в ту же сторону, что и   при ускоренном вращении  , а   направлен в противоположную сторону при замедленном вращении   (рис. 2.13).

  Рис. 2.13

       Как и любая точка твердого тела, точка М имеет нормальную и тангенциальную составляющие ускорения. Выразим нормальное и тангенциальное ускорение точки М через угловую скорость и угловое ускорение:

	aτ = Rε;	(2.4.4)
		(2.4.5)

       Обратите внимание. Все кинематические параметры, характеризующие вращательное движение (угловое ускорение, угловая скорость и угол поворота), направлены вдоль оси вращения.         Формулы простейших случаев вращения тела вокруг неподвижной оси:

     равномерное вращение ε = 0;       ω = const;       φ = φ₀ ± ωt,

     равнопеременное вращение  .

Момент импульса твердого тела относительно оси. Момент инерции относительно оси.

В тех случаях, когда твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, обычно оперируют с понятиями момента импульса и момента инерции относительно оси. Момент импульса   относительно оси - это проекция на данную ось момента импульсаL, определенного относительно некоторой точки О, принадлежащей оси, причем, как оказывается, выбор точки О на оси значения не имеет.

Действительно, при вычислении   существенно лишь плечо импульса   относительно оси вращения O'O'' (рис. 2.12), то есть кратчайшее расстояние   массы   до оси:

(2.31)

Здесь учтено, что скорость массы   при вращательном движении 

Рис. 2.12.

Рассмотрим эту ситуацию более подробно. Пусть оси Ox, Oy, Oz на рис. 2.12 - главные оси инерции для точки O, O'O'' - неподвижная в лабораторной системе ось вращения, жестко связанная с телом. Вектор угловой скорости   направленный вдоль O'O'', можно разложить по осям системы координат xyz:

(2.32)

где   - направляющие косинусы оси O'O''. Вектор L не совпадает с   и при вращении тела описывает коническую поверхность, симметричную относительно O'O''.Вектор L также можно разложить по осям системы xyz:   причем

(2.33)

где   - главные моменты инерции.

Проекция вектора L на ось вращения, или, что то же самое, момент импульса относительно оси

(2.34)

где

(2.35)

- момент инерции относительно оси.

Последняя формула позволяет рассчитать момент инерции твердого тела относительно произвольной оси в том случае, если известны главные моменты инерции   и ориентация оси вращения относительно главных осей инерции (углы   ). Во многих случаях такое вычисление оказывается значительно проще, чем прямое расчет по формуле

(2.35)

(см. (2.31)).

Отметим, что, в соответствии с данным выше определением,   - величина скалярная (проекция вектора L на ось вращения). Вместе с тем можно говорить и о векторе   рассматривая его как составляющую вектора L, вдоль оси:

(2.37)

(вектор   изображен на рис. 2.12,   ). В рекомендуемых учебных пособиях можно встретить обе трактовки понятия момента импульса относительно оси.