9 . Односторонние пределы. Определение бесконечно малой и бесконечно большой функций.

1)

2) Б-м и б-б пос-ти: опр, осн. Св-ва, связь между ними

Пос-ть Xn н-ся б-б, если для любого положительного числа А существует номер N такой, что при всех n>N выполняется нер-во |Xn|>A, т.е. (A>0)(N=N(A))(n>N):|Xn|>A Любая б-б пос-ть явл. неограниченной. Однако неограниченная пос-ть может и не быть б-б.

Пос-ть {An} н-ся б-м, если для любого положительного числа ε (сколь бы малым мы его ни взяли) существует номер N=N(ε) такой, что при всех n>N выполняется нер-во |An|< ε, т.е. (ε>0)(N=N(ε))( n>N):|An|< ε

10. Основные свойства бесконечно малых функций.

Св-ва: 1.Если {Xn} б-б пос-ть и все ее члены отличны от нуля, то по-сть {1\Xn} б-м и обратно. 2.Сумма и разность двух б-м пос-тей есть б-м пос-ть. (следствие: алгебраическая сумма любого конечного числа б-м постей есть б-м пость.) 3.Произведение двух б-м постей есть б-м пость.4. Произведение ограниченной пости на бесконечно малую пость есть пость б-м.

11. Предел суммы, произведения и частного двух функций.

1)Предел суммы двух функций равен сумме их пределов: .

Доказательство:

Пусть  , . Тогда по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции можно записать:   и  . Следовательно,  , где   - бесконечно малая функция (по свойству бесконечно малых функций). Тогда по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции можно записать  , или  .

2)Предел произведения двух функций равен произведению их пределов: .

Доказательство:

Пусть  , . Тогда   и  . Следовательно

,

.

Выражения в скобках, по свойствам бесконечно малых функций, - бесконечно малая функция. Тогда  , т.е.  .

2)Предел частного двух функций равен пределу делимого, деленного на предел делителя, если предел делителя не равен: .

Доказательство:

Пусть  , . Тогда   и  . Тогда  . По свойствам бесконечно малых функций, второе слагаемое – бесконечно малая функция.

Поэтому  , т.е. 

12. Первый замечательный предел.

13. Второй замечательный предел.

14. Эквивалентные бесконечно малые функции и их применение для вычисления преде-лов

1 5. Определение непрерывности функции в точке.

16. Точки разрыва функции и их классификация.

если в т-ке х0  оба односторонних предела, которые совпадают между собой f(x0+)= f(x0-), но  f(x0), то такая т-ка наз-ся точкой устранимого р-рыва.

Если х0 т-ка устранимого р-рыва, то можно перераспределить ф-цию f так чтобы она стала непр. в т-ке х0. Если по ф-ции f построить новую ф-цию положив для нее знач. f(x0)= f(x0-)=f(x0+) и сохранить знач. в др. т-ках, то получим исправл. f.

17. Свойства непрерывных функций.

18. Непрерывность сложной и обратной функций.

19.20 Уравнение касательной и нормали к кривой. Определение производной. Физический смысл производной. Геометрический смысл производной.

22. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

23. Производная суммы, разности, произведения, частного.

24. Производная сложной и обратной функций.

25. Производные основных элементарных функций.

26. Производные высших порядков.

27. Классические теоремы о дифференцируемых функциях.

28. Необходимые и достаточные условия экстремума и монотонности функции на интервале. (не все док-ва)=(

Монотонности:

Экстремума:

29. Нахождение максимумов и минимумов функций на отрезке.

30.Определение выпуклых функций. Достаточные условия выпуклости функции на интервале.

31. Точки перегиба.

32. Асимптоты графика функции.

33. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

34. Формула Тейлора. Формула Маклорена.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ и n раз дифференцируема в точке x₀.   Многочлен

……………….

называется многочленом Тейлора n–го порядка функции f(x) с центром в точке x₀ .

Если функция f(x) является многочленом степени k, то при всех n ≥ k справедливо равенство

f(x) = Pn(x)

Если функция f(x) не является многочленом , то при всех n имеем f(x) ≠ P_n(x) и тогда

f(x) = Pn(x) + Rn + 1(x).

(1)

Это равенство называется формулой Тейлора.  В ней R_{n + 1}(x) — некоторая функция, называемая остаточным членом формулы Тейлора

Если x₀ = 0, то формулу Тейлора называют иногда формулой Маклорена

35. Формулы Тейлора для основных элементарных функций.

36. Точность формулы Тейлора.

37. Оценка остатка в формуле Тейлора для некоторых элементарных функций.

38. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.

39. Таблица основных неопределенных интегралов.

40. Интегрирование простейших дробно-рациональных функций.

При m<n эта рациональная дробь называется правильной.

Интегралы от дрбно –рациональных функций всегда вычисляются. Однако в данном курсе мы не будем рассматривать полную теорию интегрирования таких функций , а рассмотрим только два наиболее важных частных случая

41. Интегрирование произвольной рациональной функции.

42. Универсальная тригонометрическая подстановка.

43. Интегрирование квадратичных иррациональностей.

Интегрирование квадратичных иррациональностей

R(x, √a2 ± x2)  и  R(x, √x2 − a2)

где R — рациональная функция.

а) Для интегрирования выражений R(x, √

a2 − x2

) используются подстановки

x = a · sin t     или     x = a · cos t .

б) Для интегрирования выражений R(x, √

a2 + x2

) dx используются подстановки

x = a · tg t     или     x = a · sh t .

в) Для интегрирования выражений R(x, √

x2 − a2

) dx используются подстановки

x = 

a

cos t

     или     x = a · ch t .

Во всех случаях, применив формулу замены переменной в неопределенном интеграле, получаем интегралы вида

∫ Rs(sin t, cos t) dt ,

где Rs — рациональноя функция, т.е. задача сводится к интегрированию триглнометрических выражений.