§4.Свойства функции, стремящейся к бесконечности
Теорема. 1.
2.
Пример 4.1. Докажем
или, что одно и то же,
По определению
если
Для заданного
возьмем
.
Тогда из неравенства
следует
Ч.т.д. Не строгое, но понятное рассуждение:
если одно яблоко разделить поровну всем
студентам «Плешки», то каждый студент
ничего не получит.
Пример 4.2. Не
строгое, но достаточно наглядное
доказательство формулы
следует из таблицы:
|
1 |
-10 |
1000 |
-100000 |
|
1 |
0,01 |
0.000001 |
0,0000000001 |
хотя можно рассуждать
и так:
.
Пример 4.3. Очевидно,
что
Это значит, что отношение
зависит в этом примере от
.
Определение.
Отношение
называется неопределенностью. Выражения
,
,
,
,
также являются неопределенностями.
§5.Бесконечно малые и бесконечно большие величины
Определение.
Величина
называется бесконечно малой, если ее
предел равен нулю.
Определение. Величина называется бесконечно большой, если ее предел равен бесконечности.
Пример 5.1. Величина
является бесконечно малой при
,
бесконечно большой при
и бесконечно большой
Замечание 5.1. В
предыдущем примере мы написали
,
хотя мысленно имели в виду
Мы так будем делать и дальше. Запись
в предыдущем примере также закона, хотя
очевидно должно быть
.
§6.Свойства бесконечно малых величин
Теорема.
1.Предел
равен
тогда и только тогда, когда
где
- бесконечно малая величина.
2.Если
является бесконечно малой величиной,
то
является бесконечно большой.
3.Если
ограничена (т.е.
и
- бесконечно малая, то
бесконечно малая.
4.Если
и
бесконечно малые, то
,
являются бесконечно малыми.
5.Если
(
- константа) и
- бесконечно малая, то
- бесконечно малая величина.
§7.Основные теоремы о пределах
Теоремы.
1.
где
2.Пусть
,
тогда
3.Если
,
то
.
4.(Теорема о двух
милиционерах.)Если
и
,
то
5.Если
, то
.
Замечание. Желательно знать формулировки этих теорем. Например, предел суммы равен сумме пределов.
Определение.
Последовательность
называется монотонно возрастающей,
если
справедливо
.
Последовательность
называется монотонно убывающей, если
справедливо
.
Последовательность ограничена, если
6.Любая ограниченная монотонная последовательность имеет предел.
Замечания. Знак Ш означает, что мы применяем школьную формулу. Знаками 1, 2, 3 ... мы указываем номера применяемых формул, которые даны в конце этого пособия.
Пример 7.1.
=
0,714.
Пример 7.2.
=
=
=
=Ш=
=
Пример 7.3.
;
неопределенность
=
=
Ш=
=
Пример 7.4.
=
=
=
=1/900=0,00111.
Пример 7.5.
=
=
=2=
=1=
§8.Первый замечательный предел
Теорема.
,
или, что одно и то же,
Пример 8.1.
=
=
==
=4=
1
Пример 8.2.
=
=
Пример 8.3.
;
Ш=
=
обозначим
= =
4=
§9.Второй замечательный предел
Теорема.
,
Пример 9.1.
=
;Ш=
=
=
=
;
Ш=
=
=
=
5=
=Ш=
.
Пример 9.2.
=
=
=
=
=
=
=Ш=-5.
§10.Определение непрерывности функции в точке
Определение.
Интервал
,
где
,
называется
окрестностью точки
.
Определение.
Функция
называется непрерывной в точке
,
если
Определение. Функция называется разрывной в точке , если она не является непрерывной в точке .
Замечание. Неявно
мы требуем, чтобы непрерывная в точке
функция была бы определена в некоторой
окрестности точки
§11.Определение непрерывности функции на множестве
Определение. Функция называется непрерывной на некотором множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Пример 11.1. Из рисунка 3.1 следует, что функция
у=
разрывна при х=0, так как
не существует (в том смысле, что оно
равняется бесконечности). Аналогично
из рисунков 3.2 и 3.3 следует, что функции
и
разрывны при х=0, соответственно при
х=2. Указанные в этом примере функции
непрерывны во всех точек, в которых они
определены.
Пример 11.2.Рассмотрим
график функции
(рис.11.1):
Рис. 11.1
Если х>0, то
Ш=
Если х<0, то
Ш=
При x=0
функция
неопределена, что и показано на рис.
11.1. Эта функция разрывна при x=0
и непрерывна при
,
что и показано на рис. 11.1.
Пример 11.2.На рис.
11.2 построен график
:
Рис. 11.2
Эта функция при
обращается
в ноль. При х, стремящегося к нулю,
стремится к 1. При х=0 неопределена, что
и показано на рис. 11.2. Функция разрывна
при x=0
и непрерывна при
.
Пример 11.3. Функция
(рис. 11.3) так
Рис. 11.3
же разрывна при x=0 и непрерывна при любом .