Замечание:

БИЛЕТ №5.

Ранг матрицы и метод его отыскивания.

Теорема о ранге.

Ранг матрицы соответствует количеству её линейно независимых строк, или столбцов.

Рангом матрицы называется порядок её базисного минора.

(Базисным минором матрицы А называется такой минор порядка r, который не равен нулю, а все миноры рангом выше равны, или не существуют.)

Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров.

Пусть в матрице найден минор порядка к, отличный от нуля, тогда достаточно рассмотреть лишь те миноры к+1 порядка, которые содержат внутри себя, то есть окаймляют минор к-ого порядка.

Если все они равны нулю, то минор к-ого порядка – базисный минор, а ранг матрицы равен рангу базисного минора, то есть матрица – к-ого порядка, ну а если существуют миноры, не равные нулю, ранг которых больше к, то операцию поиска необходимо продолжать. к:=л+1;

Пример:

М2 – базисный минор, ранг матрицы равен двум.

Вычисление ранга матриц методом элементарных преобразований.

Элементарные преобразования матрицы:

1. Перестановка строк, или столбцов матрицы.

2. Умножение строки, или столбцы на число, отличное от нуля.

3. Сложение строк (столбцов) матрицы.

Теорема об элементарных преобразованиях матрицы.

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется, поэтом при помощи элементарных преобразований матрица приводится к ступенчатому, или блочно треугольному виду, по которому ранг можно определить визуально.

Пример:

Правило определения ранга матрицы и её базисного минора.

1. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её не нулевых строк.

2. Базисный минор ступенчатой матрицы содержится среди элементов её не нулевых строк и такого же количества её столбцов, взятых по одному из каждой ступеньки.

Билет №6. Обратная матрица и метод ее отыскивания.

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если Δ = 0.

Квадратная матрица В есть обратная матрица для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Обратная матрица матрице А, обозначается через А^-1, так что В = А^-1 и вычисляется по формуле

, (1)

где А i j - алгебраические дополнения элементов a i j матрицы A..

Пример:

Для матрицы  найти A-1.

Решение

Находим сначала детерминант матрицы А

  значит, обратная матрица существует и мы ее можем найти по формуле:

  , где Аi j (i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов аi j исходной матрицы.

откуда .

Билет №7. Матричное уравнение и методы его решения.

Матричные уравнения могут иметь вид:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти матрицу из уравнения , необходимо умножить это уравнение на слева.

Тогда:

Следовательно, чтобы найти решение уравнения , нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу , стоящие в правой части уравнения.

Аналогично решаются другие уравнения.

Пример:

Решить уравнение АХ = В, если

Решение: Так как обратная матрица равняется (см. пример 1)