7.1.2 Эффективная масса носителей заряда.

Привычным является описание движения тел в рамках классической механики Ньютона, которая устанавливает связь между внешней силой F, приложенной к телу, и его ускорением а = dvldt:

В кристалле же на электрон действует периодическое поле, явившееся следствием действия на электрон многих внутренних сил. Эти силы также должны учитываться величиной F. Поэтому рассчитать истинную траекторию электрона в кристалле не представляется возможным, так как нельзя точно решить задачу действия многих сил. Если такую задачу и удалось бы решить, то законы действия этих сил оказались бы не столь наглядными по сравнению g законами ньютоновской механики.

Неприменимость ньютоновской механики для электронов в кристалле легко показать на основании известного в квантовой механике принципа неопределенности Гейзенберга, по которому

Принимая в качестве период кристаллической решетки и учитывая что , можно вычислить , т. е. неопределенность (или что то же самое — ошибку) в значении скорости электрона. Например, для = м и .

Но электрон в кристалле должен обладать обычной тепловой скоростью, равной 10⁷ см/с. Следовательно, неопределенность в значении скорости оказалась больше самой скорости, что является абсурдом. Таким образом, для электрона в кристалле понятие о мгновенной скорости теряет смысл. Остается лишь понятие о средней скорости электрона, которую в связи с волновым представлением можно представить в виде групповой скорости движения волнового пакета.

Точно так же можно ввести и усредненное ускорение для электрона в кристалле:

Учитывая независимость время и квазиимпульса среднее ускорение можно записать в следующем виде:

Внешняя сила F совершает с рассматриваемым электроном работу, равную dA, так что в среднем за время dt произойдет изменение скорости электрона, а значит, и изменение его энергии dE, равное совершенной работе: dE = dA = Fds = Fvdt. Отсюда

И связь между и F может быть записана в виде следующей формулы:

Учитывая, что , получаем:

Перепишем это выражение в форме, аналогичной закону Ньютона:

(7.2)

Сравнивая эту зависимость с законом Ньютона для обычных тел, можно увидеть полное сходство, если величину

(7.3)

трактовать как аналог массы электрона. Величину т* называют эффективной массой.

Смысл введения эффективной массы заключается в том, что с ее помощью учитывают совместное действие периодического потенциального поля и внешней силы на электрон в кристалле. Посредством введения эффективной массы удалось сложные законы движения электронов в кристалле свести к законам, которые по форме (только по форме!) совпадают с хорошо известными законами классической механики.

Следует понимать, что эффективная масса ничего общего не имеет с обычной массой, т. е. она не является мерой инерции и не связана с силами тяготения. Более того, из рис. 7.5 видно, что является переменной величиной в зависимости от k, а значит, и может быть .переменной величиной, т. е. эффективная масса может быть не постоянной в отличие от обычной истинной массы электрона.

Рис.7.5. Схема, иллюстрирующая свойства эффективной массы электрона

Таким образом, эффективная масса есть лишь коэффициент пропорциональности в законе, связывающем внешнюю силу, действующую на электрон в кристалле с его ускорением.

Рассмотрим некоторые свойства эффективной массы. Для этого bыделим одну из зон в пространстве импульсов так, как это показано на рис. 7.5, а. Последовательно дифференцируя графически эту кривую два раза, получим кривые рис. 7.5, б, в. Наконец пользуясь выражением (7.3), можно построить т* (к), изображенную на рис. 7.5, г. Сопоставление кривых рис. 7.5, а и 7.5, г приводит выводу, что у дна зоны эффективная масса электрона положительша, а у потолка зоны — отрицательна.

Следовательно, возвращаясь к описанию перемещения электронов в зонах (см. рис. 7.4), приходим к необходимости описывать его движением электронов в зоне проводимости с хотя и переменной по значению, но все-таки с нормальной положительной эффективной массой и одновременно — движением электронов с аномальной (отрицательной) массой в валентной зоне. Во избежание трудностей при описании такого движения было введено понятие положительной дырки, перемещение которой в электрическом поле происходит в противоположном направлении по сравнению с электроном. Тогда масса такой положительной дырки будет положительна.