32) Понятие компактного топологического пространства. Характеристика компактности через центрированные семейства замкнутых множеств. Примеры.

Опр.1 Пусть Х- Т.П. Семейство α подмножеств пространства Х называется покрытием пространства Х, если α=Х. Если α – покрытие пространства Х называется подпокрытием покрытия α.

Покрытие называется открытым, если его элементы – открытые множества.

Опр.2 Т.П. Х называется компактным , если любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие.

Множество А называется компактным, если оно компактно как подпространство с индуцированной топологией

Замечание. Подмножество А, Т.П. Х компактно любое семейство α открытых в Х множеств такое, что А α содержит конечное подсемейство (в этом случае α также будет называть покрытием А, подпокрытие покрытия α. ) Пусть α семейство открытых в Х множеств, А α, рассмотрим }, тогда – покр. А множествами, открытыт. в А. содержит конечно подпокрытие, т.е. U₁ … U_n | (U₁ А ) … (U_n А) =А А U₁ … U_n

) Рассм. – покрытия А множествами, открытых в А. V |

Рассмотрим α={ }; A α. По условию U₁ … U_n V₁... V_n=A

Пример. 1) n пространство Rⁿ не компактно. α={ Bⁿ (0,k) | k }

k

2

-k … -2 -1 1 2 … k

n=1

n=2

1

α открытое пространство Rⁿ не содержащее

конечного покрытия

Опр.3 Семейство подмножеств ТП Х называется центрированным

если пересечение любого конечного подсемейства семейства не пустое.

Пример. в R n F_n= [n, F_n| n – центрировано

n_k

n₂

n₁

Утв. ТП Х компактно пересечение любого центрального семейства замкнутых множеств в Х не пусто.

) от противного. Допустим центральное семейство замкнутых множеств

Рассмотрим α={X \ F| F } Таким образом α – открытое покрытие пространства Х.

Х компактно содержит конечное подпокрытие, т.е. . F₁ … F_n | (x\F₁ … x\F_n )=X

Тогда F₁ … F_n= ?!

) от противного. Допустим открытое покрытие не содержащее конечное подпокрытие.

{X \ U| U } Пусть F₁ … F_n U₁ … U_n | X\U₁=F₁, … X\U_n=F_n

F₁ … F_n = (X\U₁ … (X\U_n)=X \ (U₁ … U_n) Но ?!

33) Теорема о компактности произведения компактных пространств

Теорема Пусть Х₁ … Х_n – компакт Т.П. , Х= Х₁ … Х_n Тогда Х – компактно

(Индукция по n)

n=2 ; Пусть Х₁ , Х₂ - компактные пространства. Покажем , что Х= Х₁ Х₂ - компактно

U(x)

U(x)=X₂

Х₂

Х

х

Рассмотрим покрытие α пространства Х, состоящ.

Из множеств вида U V, где U X₁; V X₂

1 этап Покажем, что X₁ окресн. U(x) | U(x) Х₂

Х₁

Покрываются конечным набором множеств из α.

Рассмотрим X₁ ; – компактно конечный набор

U₁ V₁ , … ,U_n V_n из α | (U₁ V₁ ) … (U_n V_n)

Считаем, что i (U_i V_i ) Рассмотрим U(x)= U₁ … U_n открытая точка х, тогда U(x) (U₁ V₁ ) … (U_n V_n)

2этап X₁ фиксируем окрестн U(x) | U(x) покрывается конечным набором мн-в из α

Х₁

Х₂

Х

{ U(x) | X₁ } – открытое покрытие X₁

X₁ комактно х₁ … х_n X | V(x₁) .. V(x_n)=

= X₁

(U(x₁) V₁ ) … (U(x_n) V_n) = Х₁ Х₂

i U(x_i) покрыто конечным набором

Множеств из α. Пусть утверждение верно для

n=k , k , k рассмотрим Х= Х₁ … Х_k+1

где Х₁ … Х_k+1 компактны

Х (Х₁ … Х_k) Х_k+1

компактн

компактн