3. Коды, используемые в ацп и цап

Цифровые данные, полученные в результате преобразования аналоговых величин, должны иметь такое представление, которое было бы «понятно» системам, обрабатывающим эти данные. Чаще всего цифровые системы оперируют с данными, представленными в прямом двоичном, обратном двоичном, двоичном дополнительном и двоичном смещенном коде., Как правило, эти данные нормированы таким образом, чтобы все вычислительные операции выполнялись с числами, по абсолютному значению меньшими единицы:

(1.14)

Преобразуемые аналоговые сигналы в большинстве случаев являются двухполярными, поэтому при кодировании результата их преобразования код числа должен предусматривать специальный разряд, характеризующий его полярность. Этот разряд так и называется знаковым, и располагается на крайней левой позиции в записи кода.

Разрядность двоичного кода определяет точность представления числа. Если код числа имеет m+1 двоичный разряд (старший разряд знаковый, остальные – числовые), то такой код позволяет представить 2^m+1 различных числе (2^m положительных и 2^m отрицательных с шагом 2^–m) в диапазоне

(1.15)

3.1. Прямой код

Правила кодирования прямым кодом, который обозначается как [A]_пр, следующие.

Для положительных чисел в знаковый разряд его записывается 0, для отрицательных – 1. Оставшиеся m разрядов представляют числовые разряды (дробную часть) исходного числа, причем самый младший разряд располагается на крайней правой позиции, т.е., вес разрядов возрастает справа налево в направлении к знаковому разряду.

(1.16)

Например, положительное число А = +0,10101 в прямом коде будет выглядеть как [A]_пр = 0,10101, а равное ему по модулю отрицательное число В = –0,10101 как [В]_пр = 1,10101.

3.2. Обратный код

Правила кодирования обратным кодом, который обозначается как [A]_обр, похожи на правила кодирования прямым кодом, но числовые разряды отрицательных чисел здесь инвертируются

(1.17)

Например, отрицательное число В = –0,10101 из предыдущего примера в обратном коде будет выглядеть следующим образом [В]_обр = 1,01010.

3.3. Дополнительный код

Обозначается как [A]_доп. Правила кодирования положительных чисел те же, что и для прямого и обратного кодов, т.е. [A]_доп = [A]_пр = [A]_обр.

Правило кодирования отрицательных чисел: в знаковый разряд кода так же, как и при прямом и обратном кодировании, записывается 1; числовые разряды исходного числа инвертируются (как при обратном кодировании) и к младшему разряду прибавляется «единица»:

(1.18)

Например, отрицательное число В = –0,10101 в дополнительном коде будет выглядеть как

3.4. Смещенный код

Этот код очень похож на дополнительный и отличается от него только обозначением знакового разряда. Если в дополнительном коде положительные числа имеют в знаковом разряде 0, а отрицательные – 1, то у смещенного кода картина противоположная: положительные числа имеют в знаковом разряде 1, а отрицательные – 0. Нулевой символ, который считается положительным числом, здесь также имеет в знаковом разряде 1. Обозначается смещенный код как [A]_смещ. В остальном правила кодирования смещенным кодом те же, что и у дополнительного:

(1.19)

Например, положительное число В = +0,10101 в смещенном коде будет выглядеть как [В]_смещ = 1,10101, а отрицательное С = –0,10101 как

Свое название «смещенный» код получил оттого, что вся шкала кодирования из 2^m+1 чисел получается путем последовательного сдвига (смещения) первой ее половины от 0 до 2^m+1 в область отрицательных значений, при этом вторая половина, начиная со значения 2^m, остается в области положительных значений. Это хорошо видно из таблицы 1, где представлены все четыре описанных способа кодирования двоичных чисел.

Таблица 1

Представление двоичных чисел

Десятичное число	Прямой код	Обратный код	Дополнительный код	Смещенный код
+0,7	0,111	0,111	0,111	1,111
+0,6	0,110	0,110	0,110	1,110
+0,5	0,101	0,101	0,101	1,101
+0,4	0,100	0,100	0,100	1,100
+0,3	0,011	0,011	0,011	1,011
+0,2	0,010	0,010	0,010	1,010
+0,1	0,001	0,001	0,001	1,001
+0,0	0,000	0,000	0,000	1,000
–0,0	1,000	1,111	0,000	1,000
–0,1	1,001	1,110	1,111	0,111
–0,2	1,010	1,101	1,110	0,110
–0,3	1,011	1,100	1,101	0,101
–0,4	1,100	1,011	1,100	0,100
–0,5	1,101	1,010	1,011	0,011
–0,6	1,110	1,001	1,010	0,010
–0,7	1,111	1,000	1,001	0,001
–0,8	–	–	1,000	0,000

Из таблицы 1 также видно, что в прямом и обратном кодах «нуль» имеет двоякое обозначение, что создает известные трудности при вычислениях. Поэтому в системах цифровой обработки сигналов чаще всего используются дополнительный и смещенный коды.

3.5. Связь способа кодирования с характером ошибки квантования

В разделе 2 описан случай квантования аналогового сигнала s(t), когда квантованный сигнал s_вых(t) принимает значение того или иного уровня квантования в тот момент, когда аналоговый сигнал s(t) достигает центра соответствующего интервала квантования. Ошибка квантования Е_кв в этом случае находится в пределах

где Q = 1/2^m – интервал (шаг) квантования, равный по величине младшему значащему разряду кода, которым обозначаются номера уровней квантования.

Такая ошибка называется ошибкой округления и обозначается символом Е₀.

Квантованию может подвергаться не только аналоговый сигнал, но и цифровой. Квантование цифрового сигнала заключается в сокращении числа разрядов кода с некоторой величины m до величины b (m>b) и является обычной процедурой в цифровых фильтрах. Поскольку любые арифметические операции с цифровыми сигналами являются нелинейными, результаты их могут содержать сколь угодно много значащих разрядов кода.

Сокращение их числа до некоторого значения b может осуществляться двумя способами: округлением и усечением.

Округление – это замена исходного m-разрядного числа на ближайшее к нему b-разрядное (b<m<∞), т.е. соответствует выбору ближайшего уровня квантования. Ошибка округления Е₀ удовлетворяет неравенству

(1.20)

С ледует заметить, что при выборе способа сокращения разрядности двоичного кода (или способа квантования аналогового сигнала) ошибка квантования может зависеть от способа представления двоичного числа. Однако в случае округления ошибка будет одинакова для всех четырех вышеописанных кодов – прямого, обратного, дополнительного и смещенного. Характеристика нелинейности, соответствующая операции округления, показана на рис. 1.8а. Она тождественна характеристике квантования, представленной на рис. 1.6б.

Плотность вероятности ошибки округления Р(Е₀), в предположении, что все значения ошибки равновероятны, показана на рис. 1.9а.

Усечением m-разрядного числа до b разрядов (b<m<∞) называется отбрасывание младших m–b разрядов исходного числа. При аналого-цифровом преобразовании усечению соответствует случай, когда квантованный сигнал принимает значение того или иного уровня квантования только после пересечения его верхней границы.

Ошибка усечения Е_у удовлетворяет неравенствам:

а) для положительных чисел при любом способе кодирования и отрицательных чисел в дополнительном и смещенном кодах

(1.21)

б) для отрицательных чисел в прямом и обратном кодах

(1.22)

В (1.21) и (1.22) считается, что m»b.

Характеристика нелинейности, соответствующая операции усечения для дополнительного и смещенного кодов, показана на рис. 1.8 б, для прямого и обратного кодов – на рис. 1.8 в.

Плотности вероятности ошибки усечения Р(Е_у) показаны на рис. 1.9 б для дополнительного и смещенного кодов, на рис. 1.9 в – для прямого и обратного кодов.