13.. Угол между двумя плоскостями, условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Углом между плоскостями – называется любой из двугранных углов между этими плоскостями.
Угол
между плоскостями
и
− это угол между их нормальными векторами
и
.
Поэтому он может быть вычислен с помощью
скалярного произведения векторов по
формуле
.
Очевидно, если две плоскости параллельны, то их нормальные векторы коллинеарные. Отсюда вытекает условие параллельности плоскостей:
.
Аналогично, условие перпендикулярности плоскостей − это равенство нулю скалярного произведения их нормальных векторов:
.
14.. Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние
от точки
до
плоскости
вычисляется по формуле:
.
15.16. Общее уравнение прямой в пространстве. Векторное, каноническое и параметрическое уравнения прямой в пространстве.
Прямая в пространстве рассматривается как линия пересечения двух плоскостей и поэтому может быть задана системой уравнений:
Эта система уравнений называется общим уравнением прямой в пространстве.
Пусть прямая проходит через точку М0 :
Векторное уравнение прямой.
Параметрические уравнения прямой в пространстве (когда координаты точек прямой задаются как функции одной и той же переменной t, называемой параметром точки) имеют вид:
Здесь
,
,
− координаты фиксированной точки
,
через которую проходит прямая,
,
,
− координаты направляющего вектора
(любого вектора, параллельного прямой).
Каноническое уравнение прямой в пространстве
это символическое уравнение, получаемое из параметрического исключением параметра t.
17.. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
Вопросы
взаимного расположения плоскости
и прямой
сводятся, в основном, к установлению
взаимного расположения нормального
вектора плоскости
и направляющего вектора прямой
.
Углом между прямой и плоскостью называется наименьший угол между прямой и ее проекцией на плоскость:
.
Условие
параллельности
прямой и плоскости определяется условием
перпендикулярности векторов
и
:
.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости определяется условием параллельности векторов и :
.
18.. Определение точки пересечения прямой и плоскости
Для нахождения точки пересечения решаем систему из трех уравнений. Если решение единственное, то оно является корд. Точки пересечения. Если решений бесконечное мно-во, то прямая принадлежит плоскости. Если решений нет, то прямая не пересекается с плоскостью.
19.. Скрещевающиесь прямые
20.. Уравнение прямой проходящей через две данные точки. Уравнение прямой в отрезках.
В системе Oxy общее уравнение прямой − это уравнение вида . Частные случаи:
1)
,
т. е.
,
,
− прямая проходит через начало координат;
2)
,
т.е.
,
,
− это уравнение преобразуется к виду
,
оно определяет прямую параллельную оси
Оx;
аналогично, уравнение
или
определяет прямую параллельную оси Оy;
3) − прямая совпадает с осью Оx; аналогично, − это уравнение прямой, совпадающей с осью Оy.
Если
в общем уравнении прямой
,
то разделив его на
,
получим уравнение вида
,
которое называется уравнением
прямой с угловым коэффициентом.
В нем
.
Коэффициент
k
называется угловым коэффициентом, так
как он равен тангенсу угла наклона
прямой к оси Оx
(
).
Свободный член уравнения b
равен ординате точки пересечения прямой
с осью Оy
и называется величиной смещения прямой
вдоль оси Оy.
Прямая
на плоскости может быть задана каноническим
или параметрическими
уравнениями.
Здесь
− координаты точки, через которую
проходит прямая,
− координаты направляющего вектора
прямой.
Уравнение
прямой, имеющей угловой
коэффициент
k
и проходящей через точку
,
имеет вид
.
Уравнение
прямой, проходящей через
две заданные точки
и
,
имеет вид
.
Уравнение
прямой в
отрезках
,
где a
и b
− это величины отрезков, отсекаемых
прямой от координатных осей, т. е. прямая
проходит через точки
и
.