Свойства пределов. Необходимые и достаточные условия существования предела последовательности.
Теорема
1. Если
последовательности {
} и {
} имеют пределы, то
.
Доказательство.
, 1
>0 N1n
(n
N1
)
, 2
>0 N2n
(n
N2
)
Рассмотрим
последовательность
.
.
3
>0 N3n
(n
N3
) ,
, при этом
N3 = max{N1, N2}, что и требовалось доказать.
Теорема 2. (Необходимые и достаточные условия существования предела последовательности):
Необходимость.
Если
, то
,
где
- б.м. последовательность.
Достаточность. Если , где - б.м. последовательность, то
.
Доказательство.
1
)
,
>0 Nn
(n
N
;
>0
N1n
(n
N
;
- б.м.,
т.е.
2)
;
Теорема доказана.
Теорема
3. Если
,
, тогда
Доказательство. Пусть
, где { } - б.м. последовательность.
,
где {
}
- б.м. последовательность.
где
- б.м. последовательность ,
откуда
,
что и требовалось доказать.
Теорема 4. Сумма (произведение) двух б.м. (б.б.) последовательностей, есть последовательность б.м. (б.б.)
Теорема 5. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Теорема 6. Если последовательность не возрастает и ограничена снизу, то она имеет предел.
Если последовательность не убывает и ограничена сверху, то она имеет предел.
Теорема
7. Если
;
, (
,
)
то
Примеры . Вычислить пределы следующих последовательностей.
=
Число e.
Рассмотрим
последовательность 
.
Докажем, что данная последовательность имеет предел, т.е. покажем, что последовательность не возрастает и ограничена снизу.
Будем использовать неравенство Бернулли.
, где
, 
, 
Рассмотрим
последовательность 
и
покажем, что данная последовательность
имеет предел.
(Применяем неравенство Бернулли.)
, откуда 
т.е.
последовательность
не возрастает.
Из
очевидного условия
следует,
что последовательность
имеет предел.
, число
,
таким
образом 
.
Применение числа e в экономике.
Предположим,
что банк дает P%
годовых, т.е. вложив в банк в начале года
А0 рублей,
к концу первого года мы получим сумму
A1=A0*(1+r),
где r
– норма
процента
.
К концу n-ого года величина вклада возрастет до Аn=А0*(1+r )n
Будем считать, что банк осуществляет начисление процента m раз в течение года через равные промежутки времени. Тогда в конце 1-го года мы получим
, где
-
годовая норма процента при таком
начислении.
-
норма процента для промежутка времени
соответствующего m.
Иногда в банке говорят о непрерывном начислении процента. Для этого случая необходимо вычислить предел:
В конце первого года при непрерывном начислении процентов мы получим
.
Пример.
Пусть 
, тогда P=100%
.
Если начисление производится один раз в год, то в конце первого года мы получим
.
Если начисление непрерывно, то в конце первого года получаем
Отсюда следует очевидный вывод, что для вкладчика более выгодно непрерывное начисление процента.