Практические задания.
Пример 1.
Банк планирует открыть банкомат для получения денег, не выходя из машины. Оценки показывают, что поток клиентов в рабочие дни - 15 машин/ в час. Банкомат тратит на обслуживание клиента в среднем 3 минуты.
Предполагая пуассоновский поток заявок и экспоненциальное распределение для времени обслуживания найти:
Долю времени, когда банкомат загружен
Долю времени, когда он бездействует.
Среднее число машин у банкомата
Среднее число машин в очереди у банкомата
Среднее время, затрачиваемое клиентом для получения денег
Среднее время, которое клиент проводит в очереди
С какой вероятностью возле банкомата будут стоять более
3 машин.
Модель:
Ограничения на очередь:
Популяция:
λ =
μ =
S =
Пример 2.
Предположите, что для системы из примера 1 время обслуживания клиента распределено нормально со средним значением 3мин и стандартным отклонением 3 мин, 1 мин, 0 ( постоянное время обслуживания).
Модель:
Ограничения на очередь:
Популяция:
λ =
μ =
S =
Хар-ки СМО |
=3 мин |
=1 мин |
=0 мин |
|
|
|
|
L |
|
|
|
Lq |
|
|
|
W |
|
|
|
Wq |
|
|
|
P(N>3) |
|
|
|
Пример 3.
Поскольку банкомат будет расположен на оживленной улице, не более трех машин могут стоять возле него. Если три машины стоят у банкомата, остальным негде остановиться, и они проезжают мимо.
Каковы характеристики СМО в этом случае?
Какое количество клиентов будет терять банк в таком случае?
Модель:
Ограничения на очередь:
Популяция:
λ =
μ =
S =
Пример 4.
Пусть банк решил поставить два банкомата рядом так, что машина может подъехать к любому свободному.
При этом:
Жесткое ограничение на длину очереди снято, но крайне желательно, чтобы у банкоматов было не больше 3 машин.
Какова вероятность, что в очереди действительно будет не более 3 машин. Как изменятся характеристики СМО?
Жесткое ограничение на количество машин у банкомата сохранено.
Какое количество клиентов будет терять банк в таком случае? Каковы характеристики СМО в это случае?
Модель:
Ограничения на очередь:
Популяция:
λ =
μ =
S =
Оценка экономической эффективности смо.
Экономическую эффективности СМО можно оценить по стоимости каналов обслуживания (плата за организацию канала обслуживания, зарплата обслуживающего персонала и проч.) и потерям, связанным с необслуженными клиентами, или потерям от простоя обслуживаемого оборудования и т.п.
Плата за работу серверов обычно пропорциональна числу серверов S и вычисляется по формуле:
Плата за обслуживание = S * Стоимость работы 1 сервера
Потери от простоя можно оценить по среднему числу простаивающих работников (агрегатов, станков и т.д.), т.к. это число показывает, сколько работников (агрегатов, станков и т.д.) не работает всегда. В результатах выдаваемых надстройкой QueMods среднее число простаивающих работников\ждущих клиентов это L или Lq.
Если известно, сколько денег теряется из-за простоя или задержки 1 клиента, можно рассчитать суммарные потери по формуле:
Потери от простоя = L (или Lq) * Потери от простоя 1 ед.
Если потери связаны с потерей клиентов (при ограниченной очереди), то число потерянных клиентов можно установить так:
Доля потерянных клиентов = Pn ,
где Pn – вероятность того, что в системе предельно возможное число клиентов.
Число потерянных клиентов = Доля потерянных клиентов * λ
Задача: Автосервис
В большом автосервисе для получения необходимых зап. частей механик должен обращаться на склад, где кладовщик оформляет необходимые бумаги и выдает механику необходимую деталь.
Требования от механиков поступают с интенсивностью 40 заявок/час (пуассоновский поток), а кладовщик может оформить заявку и выдать деталь в среднем за 3 мин (экспоненциальное распределение).
Зарплата кладовщика $6/час Зарплата механика $12/час. Определить оптимальное число кладовщиков, обслуживающих заявки механиков.
З амечание:
Можно задать расчет всех нужных значений S сразу. Для этого следует написать в поле «Количество серверов» начальное и конечное значение для этой величины через тире.
Задача: Прядильная мастерская
В прядильной мастерской находятся 4 машины, каждая из которых останавливается и требует наладки в среднем 1 раз в час. Наладчик затрачивает на наладку в среднем 7.5 мин. Простой машины стоит $40/час. Оплата наладчика $7/час. Определить оптимальное число наладчиков.
Повторить расчет для цеха из 40 машин.
Как изменилась средняя длина очереди? Сколько теперь нужно наладчиков?
Задача: Ж/Д касса
Что лучше:
Две независимые очереди с одним каналом обслуживания каждая или
Одна очередь с двумя каналами?
Железнодорожная касса продает билеты в пункты А и Б. В кассе работают два окошка, но по традиции к ней устанавливается одна очередь: если одно из окошек освобождается к нему подходит первый в очереди пассажир).
Интенсивность «потока заявок» (пассажиров, становящихся в очередь) для обоих пунктов А и Б одинакова и равна А= Б=0.45 (пассажиров в минуту).
Кассир тратит на обслуживание клиента в среднем 2 минуты.
У кассы скапливаются очереди. Пассажиры жалуются на медлительность кассиров.
Поступило рационализаторское предложение: вместо одной общей кассы создать 2 специализированные (по одному окошку), продающие билеты одна - только в пункт А, а другая - только в пункт Б.
Оцените разумность предложения.
Литература по части курса
Основная литература.