10. Сущность и значение средних величин. Виды средних величин

Средняя величина - обобщающая характеристика изучаемого признака в исследуемой совокупности, отражающая его типичный уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.

Средняя величина отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Сущность средней заключается в том, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием основных (общих) факторов.

Основным условием научного использования средней величины является качественная однородность совокупности, по которой исчислена средняя. Если совокупность неоднородна, то метод средних используется в сочетании с методом группировок.

Существует две категории средних величин:

1) степенные средние;

2. структурные средние.

Индивидуальные формулы для вычисления степенных средних можно привести к общему виду:

m – показатель степенной средней,

x_i – варианты,

f_i – частоты.

Главным условием, при котором можно использовать степенные средние в статистическом анализе, является однородность совокупности, которая не должна содержать исходных данных, резко различающихся по своему количественному значению.

Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными.

Простая средняя рассчитывается по несгруппированным данным.

Взвешенная средняя рассчитывается по сгруппированным данным.

В зависимости от того, какое значение принимает показатель степени (m) различают следующие виды степенных средних:

Вид степенной средней	Показатель степени	Формула расчета
		Простая	Взвешенная
Гармоническая	-1
Геометрическая	0
Арифметическая	1
Квадратическая	2

Степенные средние разных видов, рассчитанные по одной и той же совокупности, имеют различные количественные значения. Здесь действует правило мажорантностисредних: с увеличением показателя степени m увеличивается и соответствующая средняя величина.

10. Структурные средние

Структурные средние применяются для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней величины, если по имеющимся статистическим данным ее расчет не может быть выполнен.

В качестве структурных средних чаще всего используются показатели моды и медианы.

Мода - это наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

Для определения моды в интервальных вариационных рядах с равными интервалами сначала находят модальный интервал, которым является интервал с наибольшей частотой, а затем ведут расчет по формуле:

где – нижняя граница модального интервала; - величина интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

– частота интервала, следующего за модальным.

Медиана - значение признака, которое лежит в середине ранжированного ряда и делит его пополам.В интервальных рядах сначала определяют медианный интервал. Для этого как и в дискретных рядах рассчитывают порядковый номер медианы . Для установления медианной группы необходимо определять накопленную частоту каждой последующей группы до тех пор, пока она не превысит половины суммы накопленных частот.

Расчет медианы проводят по формуле:

где - нижняя граница медианного интервала;

- величина медианного интервала;

- накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

- частота медианного интервала.