2.2. Вычисление геометрических характеристик простых фигур

Прямоугольное сечение

Определим осевой момент инерции прямоугольника относительно оси z. Разобьем площадь прямоугольника на элементарные площадки с размерами b (ширина) и dy (высота). Тогда площадь такого элементарного прямоугольника (заштрихован) равна dA = b · dy. Подставляя значение dA в первую формулу, получим

По аналогии запишем осевой момент относительно оси у:

Осевые моменты сопротивления прямоугольника:

;

Подобным образом можно получить геометрические характеристики и для других простых фигур.

К руглое сечение

Сначала удобно найти полярный момент инерции J_p.

Затем, учитывая, что для круга J_z = J_y, а J_p= J_z + J_y, найдем J_z = J_y = J_p / 2.

Разобьем круг на бесконечно малые кольца толщиной dρ и радиусом ρ; площадь такого кольца dA = 2 ∙ π ∙ ρ ∙ dρ . Подставляя выражение для dA в выражение для J_p и интегрируя, получим

тогда

2.3. Вычисление моментов инерции относительно параллельных осей

Пусть известны моменты инерции произвольного сечения относительно центральных осей z и y:

Требуется определить моменты инерции этого сечения относительно «новых» осей z₁ и y₁, параллельных центральным и отстоящих от них на расстояние a и b соответственно:

Координаты любой точки в «новой» системе координат z₁0₁y₁ можно выразить через координаты в «старых» осях z и y так:

Подставляем эти значения в формулы для моментов инерции в «новых» осях и интегрируем почленно:

Так как оси z и y – центральные, то статический момент S_z = 0.

Окончательно можем записать формулы «перехода» при параллельном переносе осей:

Отметим, что координаты a и b необходимо подставлять с учетом их знака (в системе координат z₁0₁y₁).

2 .4. Вычисление моментов инерции при повороте координатных осей

Пусть известны моменты инерции произвольного сечения относительно центральных осей z, y:

; ;

Повернем оси z, y на угол α против часовой стрелки, считая угол поворота осей в этом направлении положительным.

Требуется определить моменты инерции относительно «новых» (повернутых) осей z₁ и y₁:

Координаты элементарной площадки dA в «новой» системе координат z₁0y₁ можно выразить через координаты в «старых» осях так:

Подставляем эти значения в формулы для моментов инерции в «новых» осях и интегрируем почленно:

Проделав аналогичные преобразования с остальными выражениями, запишем окончательно формулы «перехода» при повороте координатных осей:

Отметим, что если сложить два первых уравнения, то получим

т. е. полярный момент инерции есть величина инвариантная (другими словами, неизменная при повороте координатных осей).

2.5. Главные оси и главные моменты инерции

До сих пор рассматривались геометрические характеристики сечений в произвольной системе координат, однако наибольший практический интерес представляет система координат, в которой сечение описывается наименьшим количеством геометрических характеристик. Такая «особая» система координат задается положением главных осей сечения. Введем понятия: главные оси и главные моменты инерции.

Главные оси – две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, при этом осевые моменты инерции принимают экстремальные значения (максимум и минимум).

Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями.

Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.

Главные центральные оси принято обозначать буквами u и v; главные моменты инерции – J_u и J_v (по определению J_uv = 0).

Выведем выражения, позволяющие находить положение главных осей и величину главных моментов инерции. Зная, что J_uv = 0, воспользуемся уравнением (2.3):

отсюда

Угол α₀ определяет положение главных осей относительно любых центральных осей z и y. Угол α₀ откладывается между осью z и осью u и считается положительным в направлении против часовой стрелки.

Заметим, что если сечение имеет ось симметрии, то, в соответствии со свойством центробежного момента инерции (см. разд.2.1, п.4), такая ось всегда будет главной осью сечения.

Исключая угол α в выражениях (2.1) и (2.2) с помощью (2.4), получим формулы для определения главных осевых моментов инерции:

Запишем правило: ось максимум всегда составляет меньший угол с той из осей (z или y), относительно которой момент инерции имеет большее значение.