4. Простейшие задачи аналитической геометрии. Действия с векторами в координатах Как найти вектор по двум точкам?
Если
даны две точки плоскости 
и 
,
то вектор
имеет
следующие координаты:
Если
даны две точки пространства 
и 
,
то вектор
имеет
следующие координаты:
То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора.
Задание: Для
тех же точек запишите формулы нахождения
координат вектора 
.
Формулы в конце урока.
Пример
Даны
две точки плоскости 
и 
.
Найти координаты вектора
Решение: по
соответствующей формуле:
Как
вариант, можно было использовать
следующую запись:
Эстеты
решат и так: 
Лично я привык к первой версии записи.
Ответ: 
Как найти длину вектора?
Если
дан вектор плоскости 
,
то его длина вычисляется по формуле 
.
Если
дан вектор пространства 
,
то его длина вычисляется по формуле 
.
Пример
Даны
точки 
и 
.
Найти длину вектора
.
Решение: Сначала
найдём вектор
:
По
формуле
вычислим
длину вектора:
Ответ: 
Выполним
чертеж к задаче:
Действия с векторами в координатах
1) Правило
сложения векторов.
Рассмотрим два вектора плоскости 
и 
.
Для того, чтобы сложить векторы,
необходимо сложить
их соответствующие координаты:
.
Если
речь идёт о векторах в пространстве, то
всё точно так же, только добавится
дополнительная координата. Если даны
векторы 
,
то их суммой является вектор 
.
2) Правило
умножения вектора на число. Ещё
проще! Для того чтобы вектор
умножить
на число
,
необходимо каждую координату данного
вектора умножить на число
:
.
Для
пространственного вектора 
правило
такое же:
Пример
Даны
векторы 
и 
.
Найти 
и 
Решение
Ответ: 
Пример
Даны
векторы 
и 
.
Найти 
и 
Решение: Для
действий с векторами справедлив обычный
алгебраический приоритет: сначала
умножаем, потом складываем:
Ответ: 
5. Скалярное произведение векторов
Скалярным
произведением векторов
и
называется число, равное произведению
длин этих векторов на косинус угла φ
между ними. Обозначается скалярное
произведение векторов
и
так:
или (
,
).
Следовательно:
=
cosφ,
отсюда cosφ=
.
Скалярным произведением двух векторов, заданных в координатной форме, называется число равное сумме произведений одноименных координат.
Пусть на плоскости OXY заданы векторы =(a1, a2) и =(b1, b2), их скалярное произведение =a1b1+a2b2.
Аналогично находится
скалярное произведение векторов:
=(x1,
x2,…,
xn)
и
=(y1,
y2,…,
yn).
=x1y1+x2y2+…+xnyn.
Свойства скалярного произведения:
-
(переместительный закон),
-
(распределительный закон),
-
(сочетательный закон по отношению к
скалярному множителю λ),
-
или
,
откуда
,
- если
,
то
или один из векторов нулевой.
Угол φ между векторами =(x1, x2,…, xn) и =(y1, y2,…, yn) найдем по формуле:
.
Пример 1. Найти скалярное произведение векторов =(-1; 0; 7) и =(-3; 1; 5).
Решение. =-1(-3)+0∙1+7∙5=38.
Пример 2. Найти угол φ между векторами =(0; 6; -2) и =(2; 2; -8).
Решение. Угол φ найдем используя формулу:
