18. Независимые и зависимые события, условная вероятность. Теоремы о произведениях независимых и зависимых событий.

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В. Два события А и В называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события А и В называются зависимыми. Условной вероятностью PA(B) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Теорема умножения для зависимых событий

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: 

P (AB) = P (A)*PA(B).

Теорема умножения для независимых событий

Теорема. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей: 

P(AB) = P(A)*P(B).

19. Полная группа событий. Противоположные события, их вероятности.

В каждой группе какое -либо событие в результате испытания обязательно произойдет, причем появление одного из них исключает появление всех остальных. Такие события называются полной группой событий.

 Определение: Если группа событий такова, что в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них и любые два из них несовместны, то эта группа событий называется полной группой.

 Каждое событие из полной группы называется элементарным событием. Каждое элементарное событие - равновозможное, т.к. нет оснований считать, что какое-либо из них более возможное, чем любое другое событие полной группы.

 Два противоположных события составляют полную группу.

По отношению к двум событиям, ожидаемым при проведении одного испытания, может возникнуть  такая ситуация, когда не появление одного из них обязательно повлечет за собой появление другого. Такие события называются противоположными. Обозначение: для события А противоположным является А (не А).

 Определение: События А и А называются противоположными или взаимно дополнительными, если  не появление одного влечет появление другого.

Теорема  Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

р(А) + р() = 1. (2.5)

Доказательство.

Так как А и  образуют полную группу, то одно из них обязательно произойдет в результате опыта, то есть событие А+ является достоверным. Следовательно,

Р( А +) = 1. Но, так как А и несовместны, из (2.4) следует, что Р(А +) = р(А) + р(). Значит, р(А) + р() = 1, что и требовалось доказать.

20. Гипотезы. Полная вероятность.

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий  , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле

.

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий  , вероятности появления которых  . Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий  , которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности

Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез  .

По теореме умножения вероятностей

,

откуда

.

Аналогично, для остальных гипотез

Полученная формула называется формулой Байеса (формулой Бейеса). Вероятности гипотез  называются апостериорными вероятностями, тогда как   - априорными вероятностями.

Пример. В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: 20% - продукция первого предприятия, 30% - продукция второго предприятия, 50% - продукция третьего предприятия; далее, 10% продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии - 5% и на третьем - 20% продукции высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшего сорта.

Решение. Обозначим через В событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция высшего сорта, через   обозначим события, заключающиеся в покупке продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятиям.

Можно применить формулу полной вероятности, причем в наших обозначениях:

Подставляя эти значения в формулу полной вероятности, получим искомую вероятность: