4. Статистические аналоги основных числительных характеристик случайных величин

• Математическое ожидание

Для непрерывных случайных величин математическое ожидание есть величина

характеристика положения случайной величины X, которая равна средневзвешенному возможных ее значений(среднее значение случайной величины). Обозначение m_x = M[X]

• Мода

Наиболее вероятное значение. Для непрерывной величины модой является то значение, в котором плотность вероятности максимальна.

• М едиана

Этой характеристикой пользуются обычно только для непрерывных случайных величин. Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам.

• Дисперсия D_x  M[(X - m_x)²]

Для дискретной случайной величины дисперсия вычисляется по формуле:

Для непрерывной случайной величины дисперсия вычисляется по формуле:

Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

• Среднеквадратическое отклонение(стандартное отклонение)

5 . Выравнивание статистических рядов (мат. Ожидание, дисперсия)

Задача выравнивания заключается в том, чтобы подобрать теоретическую плавную кривую распределения, с той или иной точки зрения наилучшим образом описывающую данное статистическое распределение.

Как правило, принципиальный вид теоретической кривой выбирается заранее из соображений, связанных с существом задачи, а в некоторых случаях просто с внешним видом статистического распределения. Аналитическое выражение выбранной кривой распределения зависит от некоторых параметров; задача выравнивания статистического ряда переходит в задачу рационального выбора тех значений параметров, при которых соответствие между статистическим и теоретическим распределениями оказывается наилучшим.

6-7. Постановка задач. Проверки гипотез. Критерий Пирсона

Чтобы иметь основания принять или опровергнут гипотезу, необходимо выработать некоторый критерий, позволяющий делать корректные выводы. В математической статистике при проверке гипотез выбрать критерий значит задать некоторое критическое значение вероятности ошибочного отклонения проверяемой гипотезы. Эта вероятность называется уровнем значимости и обозначается . Чем весомее для нас потери от ошибочного отклонения гипотезы H, тем меньше . Обычно это величина имеет одно из стандартных значений: 0.1, 0.05 или 0.01. Выбрав, например,  = 0.1, мы в среднем десять раз из ста будем отбрасывать верную гипотезу. Если же выбрать  = 0.01, то из ста случаев мы (в среднем) только один раз отбросим верную гипотезу.

Основная идея проверки гипотез заключается в следующем. Выбирается уровень значимости  и задается некоторая мера расхождения U, характеризующая степень расхождения теоретического и статистического распределений. В предположении, что гипотеза верна, вычисляется вероятность того, что только за счет чисто случайных причин (связанных с ограниченностью числа проведенных опытов) мера расхождения U (критерий согласия) окажется не меньше, чем вычисленная по результатам наблюдений величина этой меры u, т.е. P(U  u). Если эта вероятность не меньше , то говорят, что экспериментальные данные не противоречат выдвинутой гипотезе. По такой схеме проводится проверка практически любых статистических гипотез.

Критерий согласия Пирсона.

Где:

p_i - теоретическая вероятность, т.е. вероятность попадания в i-ый разряд, вычисленная по гипотетическому закону;

p_i^* - статистическая (вычисленная по выборке) частота попадания в i-ый разряд.

Схема применения критерия согласия ² следующая:

1. По формуле вычисляется мера рассогласования ².

2. Вычисляется число степеней свободы r = k - s -1,

где k - число разрядов, на которое разбит диапазон наблюденных значений величины X;

s - число параметров теоретического закона распределения, которые определены по выборке.