43.Правило трьох сигм. Логарифмічн нормальний закон.

З ф-ли: P(|x-a|<δ)=2Ф(δ/σ) коли δ=3σ, маємо:P(|x-a|<3σ)= 2Ф(3σ/δ)=2Ф(3)=2*0,49865=0,9973 Практця подія при 1 експер здійсн, а тому її вваж практ вірогідною. Звідси: P(|x-a|<3σ)=1- P(|x-a|<3σ)=1- 0,9973=0,0027 Тобто йм-сть того, що внаслідок пров експер ВВ Х, яка має ЗР N(a;σ), не потрапить у проміжок [a-3σ;a+σ], = 0,0027. Тобто практ вваж, що ця подія внаслід провед1 експер не здійсн. Логарифм розпод -клас дискретн розпод, що використов в різних додатках, включ математ генетику і фізику. Нехай ВВ Y задається ф-ією ймовірн де 0 < p < 1. Тоді Y має логарифм розп з параметр.

Ф-ція розподілу ВВ Y Y~log(p) кусково-постійна зі стрибк в натурал точках:

де Bp - неповна β-ф-ція. 44.Нерівності Чебишева та їх значення. результат теорії ймовірностей, що ствердж, що для будь-якої випадкової змінної із скінчен дисперсією майже всі значення концентруют біля значен математ очікування. Нерівність Чебишова дає кількісні характер цієї властивості. Нехай X є випадковою змінною із математ очікув η і дисперс σ2. Тоді для всякого ε>0 викон нерівн: Р{|X- η|≥є}≤ σ2/є2. 45.Теорема Чебишева. Нехай X є випадкова змінна із математ очікув η і дисперс σ2. Тоді для всякого ε>0 викон нерівн: Р{|X- η|≥є}≤ σ2/є2. Довед: Нех F(x) - ф-ція розп змінної X. Тоді:

Р{|X- η|≥є}=

Отримуємо

46.Теорема Бернуллі. Теорема Бернуллі:При багаторазов повторенні досліду відносна частота настання події А прямує з ймовірністю до числа р – ймовірності події А в одиничному експерименті…Нех. здійснюється n незалежних випробувань , у кожному з них подія а відбувається зі сталою ймовірністю р, або не відбувається з q=1-p . Результат випробування не залежить від результатів попередніх випробувань, тобто випробування незалежні в сукупності. Випробування проходять за схемою Бернуллі.Ймовірність того,що в результаті незалежних випробувань за схемою Бернуллі подія А з’явиться m раз обчислюється за формулою: .Ймовірність того, що в результаті m незалежних випробувань подія А з’явиться від mi до mj раз :

1) 2)

3)

4)

47.Центральна гранична теорема теорії ймовірностей(теорема Ляпунова) та її використання у математичній статистиці.

У центральній граничній теоремі розглядається питання про закон розподілу великої суми незалежних випадкових величин. При досить загальних умовах закон розподілу суми буде близьким до нормального закону.

Теорема. При досить загальних умовах розподіл суми великого числа незалежних випадкових величин близький до нормального розподілу.

Нехай задана послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин b,i=1,2 x1,x2,xn,M(x)=0,D(x)=0.Розглянемо випадкову величину Yn= Тоді При n сума буде розподілена за нормальним законом з математичним сподіванням 0 та дисперсією Для доведення цієї теореми треба знайти границю характеристичної функції, побудованої для нормованої випадкової величини Zn= Наслідок. При розподіл суми однаково розподілених випадкових величин мало відрізняється від нормального розподілу.