Угол между прямыми на плоскости

 

Определение. Если заданы две прямые y = k₁ x + b₁ , y = k ₂x + b₂ , то острый угол между этими прямыми будет определяться как

 

.

Две прямые параллельны, если k₁ = k₂ . Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/ k₂ .

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А ₁ х + В₁ у + С₁ = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А₁ = λА, В₁ = λВ. Если еще и С₁ = λС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.

 

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой

Определение. Прямая, проходящая через точку М₁ (х₁ , у₁ ) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:

 

Расстояние от точки до прямой

 

Теорема. Если задана точка М(х₀ , у₀ ), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

.

Доказательство. Пусть точка М ₁(х ₁, у ₁) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М₁ :

 (1)

Координаты x₁ и у₁ могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М ₀ перпендикулярно заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x ₀ ) + B(y – y₀ ) + Ax₀ + By₀ + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

Теорема доказана.

 

Пример. Определить угол между прямыми: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k ₁ = -3; k ₂ = 2; tgφ =  ; φ= p /4.

Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

Решение. Находим: k ₁ = 3/5, k₂ = -5/3, k 1* k 2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Решение. Находим уравнение стороны АВ:  ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0; 

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b . k =  . Тогда y =  . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению:  откуда b = 17. Итого: .

Ответ: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Билет 17

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Взаимное расположение двух прямых и пространстве характеризуется следующими тремя возможностями. Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек — параллельные прямые. Прямые лежат и одной плоскости и имеют одну общую точку — прямые пересекаются. В пространстве две прямые могут быть расположены еще так, что не лежат ни в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися (не пересекаются и не параллельны). Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость и точке, которая не лежит на первой прямой, то эти прямые скрещиваются. На рис. 26 прямая a лежит в плоскости , а прямая с пересекает   в точке N. Прямые a и с — скрещивающиеся. Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит только одна плоскость, параллельная другой прямой. На рис. 26 прямые a и b скрещиваются. Черен прямую а проведена плоскость   || b (в плоскости  указана прямая a1 || b). Билет 18 Общее уравнение кривой второго порядка Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид       Уравнение такого вида может определять: 1) эллипс (в частности, окружность), 2) гиперболу, 3) параболу, 4) пару прямых (параллельных, пересекающихся либо совпадающих), 5) точку или не определять никакой линии. В простейшем случае, при В = 0, тип кривой можно определить, выделив полные квадраты переменных.   Пример 16. Построить кривую  Решение.       Тогда уравнение можно записать в виде   или   или   – уравнение гиперболы с полуосями а = 4,   центр которой находится в точке О1(-1; 3) (рис. 38). Рис. 38 Билет 19 Уравнение плоскости в пространстве. Общее уравнение плоскости в декартовой системе координат записывается следующим образом:  ax + by + cz + d = 0. Если известно, что плоскость проходит через точку с координатами (x0, y0, z0), то ее уравнение можно привести к виду  a (x – x0) + b (y – y0) + c (z – z0) = 0. Уравнение  называется уравнением плоскости в отрезках на осях. Нормаль к плоскости имеет координаты  Угол между двумя плоскостями легко вычисляется по формуле скалярного произведения. Если эти плоскости задаются уравнениями a1x + b1y + c1z + d1 = 0 иa2x + b2y + c2z + d2 = 0, то угол между плоскостями равняется  Расстояние от точки (x0; y0; z0) до плоскости, задаваемой уравнением ax + by + cz + d = 0, равно  Билет 20