Общее уравнение прямой

Всякое уравнение первого порядка вида

есть уравнение прямой, и, наоборот, любую прямую линию можно задать уравнением данного вида.

Уравнение называется общим уравнением прямой. Если , то из общего уравнения можно получить уравнение прямой с угловым коэффициентом , т.е. .

Пусть заданы две прямые и .

Угол между этими прямыми можно определить из формулы : .

Отсюда следует , что равенство будет условием параллельности, а равенство будет условием перпендикулярности двух прямых .

Примеры

1. Определить точки пересечения прямой с координатными осями.

Полагаем , подставляя в уравнение прямой, получаем .

Полагаем , подставляя в уравнение прямой, получаем .

Точка пересечения прямой с координатными осями имеет координаты .

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

Перейдем от общего уравнения к уравнению прямой с угловым коэффициентом

. Угловой коэффициент этой прямой . Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом, и получим . Отсюда .

3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

Перейдем от общего уравнения к уравнению прямой с угловым коэффициентом

. Угловой коэффициент этой прямой . Из условия перпендикулярности следует, что угловой коэффициент искомой прямой .

Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом, и получим . Отсюда .

4. Найти угол между двумя прямыми и .

Угол между этими прямыми можно определить из формулы : .

Здесь , тогда , отсюда .

5 . Дан ромб АВСD уравнения двух сторон ромба ВС и AD, а также диагонали BD (рис. 3). Найти уравнения диагонали АС.

Найдем координаты точки В:

Рис. 3

Найдем координаты точки D:

; .

Координаты центра - (B+D)/2: .

Найдем уравнение диагонали АС:

6. Найти расстояние от точки до прямой, проходящей через точки и .

Напишем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки . Отсюда получаем . Теперь напишем уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно полученной прямой. Из условия перпендикулярности получим ее угловой коэффициент . Тогда уравнение перпендикуляра имеет вид . Отсюда . Найдем проекцию точки на прямую . Для чего решим систему уравнений и получим , т.е. проекция точки , которую обозначим , имеет координаты . Найдем расстояние , что и будет искомым расстоянием.

7.  Найти точку , симметричную точке относительно прямой .

Угловой коэффициент заданной прямой , тогда угловой коэффициент перпендикуляра к ней Теперь можно написать уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно прямой , или . Найдем проекцию точки , которую обозначим , на прямую . Для чего решим систему уравнений и получим координаты точки ,

Обозначим точку симметричную точке относительно прямой . Ее координаты найдем из соотношений . Получим , это и будут координаты симметричной точки.