2.Построение проекции пересекающихся поверхностей (конуса и цилиндра) методом впомогательных секущих сфер и развертки конуса.

Для построения линии пересечения некоторых поверхностей нерационально использовать плоскости в качестве вспомогательных секущих поверхностей (посредников). Например, если пересекаются две поверхности вращения общего вида с пересекающимися осями, то никакие плоскости не помогут рассекать одновременно эти поверхности по линиям, которые проецировались бы в графически простые линии. В таких случаях целесообразно применять способ вспомогательных секущих сфер. В самом деле, сферы обладают большими преимуществами по сравнению с другими посредниками, так как на сфере можно взять бесчисленное множество окружностей и проекции сферы легко построить, что позволяет определить линию пересечения поверхностей с достаточной степенью точности.

Существует способ концентрических сфер и эксцентрических. Способ концентрических сфер применяют для построения линии пересечения двух поверхностей вращения с пересекающимися осями, а эксцентрических – для построения линии пересечения поверхностей вращения и циклических поверхностей, имеющих общую плоскость симметрии.

Рассмотрим линию пересечения двух поверхностей вращения (цилиндра и конуса), которую будем находить способом концентрических сфер.

Цилиндр – тело вращения, ограниченное замкнутой цилиндрической поверхностью и двумя выделившими ее сечениями – основаниями цилиндра.

Конус – тело вращения, состоящее из основания – плоской фигуры, ограниченной замкнутой линией(кривой или смешанной), вершины – точки, не лежащей в плоскости основания, и всех отрезков, соединяющих вершину со всевозможными точками основания.

Линией пересечения поверхностей является множество точек, общих для данных поверхностей. При пересечении конуса и цилиндра получается пространственная кривая.

Для того чтобы построить линию пересечения конуса и цилиндра способом вспомогательных секущих сфер сначала нужно вписать сферу максимального радиуса с центром, находящимся на пересечении осей тел вращения. Максимальным будет такой радиус, когда окружность будет проходить через наиболее удаленную точку пересечения тел. В данном случае мы имеем две опорные точки 1 и 2 .Точка 2 находится дальше от центра пересечения осей тел, значит, максимальная окружность будет проходить через нее. Затем проводим сферу минимального радиуса. Минимальным же будет радиус сферы, вписанной в большую по размеру поверхность. Для этого из центра пересечения осей тел вращения опускаем перпендикуляр к поверхности конуса и через эту точку проводим окружность. Она будет пересекать конус и цилиндр в двух точках. Соединим линиями точки пересечения у конуса и точки пересечения у цилиндра. На пересечении этих линий получим точку принадлежащую линии пересечения конуса и цилиндра. Для остальных промежуточных точек проводим вспомогательные сферы у которых Rmin < R < Rmax и аналогично находим еще несколько произвольных точек. Затем соединяем их плавной линией и получаем линию пересечения конуса и цилиндра. Несуществующий контур конуса проводим тонкой линией.

Далее переходим к развертке конуса. Представим поверхность в виде гибкой, тонкой нерастяжимой пленки. Оказывается, при таком условии некоторые поверхности можно, постепенно изгибая, совместить с плоскостью так, что при этом не будет разрывов и складок. Поверхности, обладающие указанными свойствами (многогранные, конические, цилиндрические, торсовые), называют развертывающимися, а фигуру, полученную от совмещения поверхности с плоскостью, - разверткой.

Развертки обладают следующими свойствами:

1. Длины двух соответственных линий развертки и поверхности равны между собой.

2. Углы, образованные линиями на поверхности, и углы между соответственными линиями на развертке также равны.

3. Замкнутая линия на поверхности и соответствующая ей линия на развертке ограничивают одинаковые площади, поэтому площадь развертки равна площади соответствующего отсека самой поверхности.

Из перечисленных свойств вытекают следующие следствия:

Следствие 1: Прямая на поверхности переходит в прямую на развертке.

Следствие 2: Параллельным прямым, лежащим на поверхности, соответствуют параллельные прямые на развертке.

Для построения развертки поверхности конуса, для начала перерисуем его без врезающегося цилиндра и с видимым основанием, которое делим на равные части с помощью циркуля раствором равным радиусу основания цилиндра. Отметим точки 1 , 2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 .Чтобы найти точки, по которым нужно построить линию пересечения конуса и цилиндра, проводим образующие на которых они лежат, и на пересечении их с линиями проекционной связи получаем точки A ,B ,C ,D , F ,G .

Затем переходим к самой развертке. Развертка прямого конуса имеет форму кругового сектора, который мы чертим циркулем, раствор которого равен высоте конуса, и ограничиваем образующими с обеих сторон. Делим основание развертки конуса на равные части как на предыдущем рисунке, а на образующих находим точки, принадлежащие линии пересечения конуса и цилиндра, которые соединяем плавной линией.