Неопределенные выражения.

1. Рассмотрим отношение в случае, когда обе переменные есть бесконечно малые или бесконечно большие величины. Предел этого отношения, как легко убедиться на примерах, может быть равен нулю, постоянной величине или бесконечности. Подобное выражение является неопределенным.

Примеры:

2. Произведение бесконечно большой величины на бесконечно малую также неопределено в пределе.

3. Предел разности бесконечно больших величин неопределен.

Итак, имеем следующие типы неопределенностей:

Число e

Введено Леонардом Эйлером, как предел последовательности

2.71828 1828459045.

Сравнение бесконечно малых (бесконечно больших) величин

При сравнении бесконечно малых (бесконечно больших) величин между собой вводится понятие порядка их малости. Определим это понятие.

Пусть  и  две бесконечно малые величины. Тогда:

1. Если (или ) имеют конечный предел, то эти бесконечно малые величины имеют одинаковый порядок малости.

2. Если указанное отношение является бесконечно малой величиной, то бесконечно малая имеет более высокий порядок малости, чем .

3. Если =1, то бесконечно малые величины называются эквивалентными.

Функции одной переменной

Определения

Переменной называем величину, изменяющуюся непрерывным образом.

Переменная называется функцией переменной в области ее изменения , если по некоторому правилу или закону каждому значению из ставится в соответствие одно определенное значение из (запись: ).

Если одному значению аргумента ставится в соответствие несколько значений функции, то функция называется многозначной. Пример: .

Примеры функций:

- «Антье» - целая часть числа определяется целым числом, ближайшим к . Так [1.86]=1; [3.12]=3.

- Степенная функция - - любое число.

- Показательная функция - . Важную роль играет функция ;

- Гиперболические функции: ;

Обратная функция

Пусть функция определена на множестве - множество всех значений, принимаемых функцией. Функция называется обратной функцией для .

Если одному значению из соответствует только одно значение из , то функция однозначна.

Примеры:

1. Функция однозначна. Обратная функция также однозначно определена: .

2. Функция однозначна. Однако для бесконечного множества значений существует одно значение . Обратная функция в этом случае многозначна.

Предел функции

Определение. Функция имеет пределом число при , если для любого, сколь угодно малого, числа найдется число такое, что

как только .

Принято обозначение, аналогичное пределу последовательности:

. (*)

Определение. Функция при ( ) имеет пределом число , если для любого, сколь угодно малого числа существует такое число , что , при .

Определение. Функция называется бесконечно малой при , если .

Теорема. Функция имеет своим пределом число , при , тогда и только тогда, когда , где , т.е. функция отличается от своего предела на величину бесконечно малую.

Очевидно, если аргумент принимает последовательно фиксированные значения , то функция также примет последовательность значений . Следовательно, последовательность есть частный случай функции. Соответственно, все факты, доказанные для пределов последовательностей, справедливы и для пределов функций.

Если функции и при имеют пределом соответственно величины и , то будут соответственно величины .

Кроме того, предел постоянной равен самой постоянной , постоянный множитель можно выносить за знак предела.