14. Свойства непрерывных функций

Опред.: Функция непрерывна в точке, если она определена в этой точке, определена в некоторой окрестности этой точки и её предел равен значению функции в этой точке.

Непрерывность в точке

1. Если функции y=f(x) и y=g(x) непрерывны в точке , то f(x) +- g(x);

f(x)  g(x); (g( )0) также непрерывны в точке .

2. Если функция y=f(x) непрерывна в точке и f ( )0, то существует окрестность этой точки, для всех х из которой f (х)0.

3. Если функция y=f(U) непрерывна в точке , функция U=g(x) непрерывна в точке ( =g( )), то сложная функция y=f(g(x)) непрерывна в точке и можно записать:

непрерывность на отрезке

1. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке

2.Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем наименьшее m и наибольшее M значения.

3.Если функция непрерывна на отрезке и на концах его достигает значения разных знаков, то внутри отрезка существует хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль.

15. Предел рациональной и дробно - рациональной функций.

Y=a₀xⁿ +a₁x^n-1 + …+a_n-1x + a_n =P_n(x) –рациональная функция

Lim_x->a(P_n(x)) = a₀ (lim_x->a xⁿ) + a₁ (lim_x->a x^n-1) +… + a_n-1 (lim_x->a x) +a_n=a₀ aⁿ + a₁ a^n-1 + …+a_n-1 a + a_n =P_n(a)

Если х стремится к бесконечности, то Lim_x->беск.(P_n(x))= бескон.

Если х стрем. к 0, то Lim_x->0(P_n(x))=а_n

т. е. при отыскании предела целой рациональной функ­ции можно в аналитическом выражении функции заме­нить аргумент его предельным значением.

Предел дробно-рациональной функции. Если

то

т. е. при отыскании предела дробно-рациональной функции можно в аналитическом выражении функции заменить аргумент его предельным значением, если при этом предельном значении знаменатель не обращает­ся в нуль.

16. Первый и второй замечательные пределы

         Определение.   Первым замечательным пределом называется предел              

Теорема. Первый замечательный предел равен         

Доказательство .     Рассмотрим два односторонних предела и

и докажем, что каждый из них равен 1. Тогда двусторонний предел также будет равняться 1.

неравенство: теперь запишем в виде Все три части этого неравенства положительны, поэтому его можно записать так: или (умножив на ) так:

Сл-но, lim_x->0 (x/sinx) = lim_x->0 (sinx/x)=1

   Вторым замечательным пределом называется предел     

    

17. Непрерывность функции в точке, на интервале и на отрезке.

Опред.: Функция непрерывна в точке, если она определена в этой точке, определена в некоторой окрестности этой точки и её предел равен значению функции в этой точке.

функция f непрерывна в точке , если выполняются следующие условия:

1) функция f определена в точке и ее окрестности;

2) существуют односторонние пределы: и ;

3) односторонние пределы равны между собой: ;

4) односторонние пределы равны значению функции в точке :

.

  Определение  Пусть f -- некоторая функция, D(f) -- её область определения и   -- некоторый (открытый) интервал. Назовём функцию f непрерывной на интервале (a; b), если f непрерывна в любой точке  , то есть для любого   существует   .

Пусть теперь [a; b] -- (замкнутый) отрезок в D(f). Назовём функцию f(x) непрерывной на отрезке [a; b], если f непрерывна на интервале (a; b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.