2.Особенность моделирования многофракционности состава к-фазы

Рассмотрим принцип подхода к моделированию гетерогенного пото­ка, когда присутствуют частицы с различным диаметром.

В простейшем случае, когда все частицы имеют одинаковый диа­метр, задача значительно упрощается и необходимо рассмотреть всего 2 среды и одну единую для них форму сопротивления. Если же частицы имеют разный диаметр, то для каждой дискретной ячейки в численной мо­дели необходимо учитывать долю каждой фракции и для каждой фракции вычислять свою собственную силу сопротивления и соответственно закон движения каждой фракции. В данном случае необходимо моделировать не 2 континуума, а n+1 взаимопроникающих континуумов. Если рассматри­вать в качестве k-фазы горящие зёрна воспламенителя, то при численном моделировании этот процесс моделируется ступенчатым процессом уменьшения диаметра.

В двухфазном потоке, присутствует большое число мелких частиц различной формы и размеров. Прямое описание каждой из них не пред­ставляется возможным т.к. это потребовало бы значительного объёма опе­ративной памяти и вычислений. Однако образование частиц - процесс в достаточной степени стохастический, следовательно справедливо предпо­ложить, что частицы подчиняются некоторому распределению f(r) (рис.1), зависящему от источника запыления. Функция f(r) при условии, что число частиц велико, является достаточно гладкой и легко может быть прибли­жена кусочно-линейной или ступенчатой функцией.

h

Рис. 1. Распределение размеров частиц К-фазы.

ад

5 ¹

Рис. 2. Кусочно-линейная аппрокси­мация закона распределения.

Функция f(r) представляется рядом значений fi (i=1..N) взятых через равные промежутки 5 по оси г. В интервалах между f_i будем считать, что функция изменяется по линейному закону f_i(r)=A_i*r+B_i для i-го интервала (рис.2). Для коэффициентов A_i , B_i легко получить следующие выражения:

где N- количество элементарных интервалов шириной 5.

Для вычисления массы частиц удобно сделать упрощение, касающее­ся формы частиц: будем считать их шарообразными. Тогда выражение для массы частиц в элементарном интервале i будет выглядеть следующим об­разом:

M = £ m i = dvN),

а во всём рассматриваемом интервале

р_П в выражении - плотность материала частиц.

Эти параметры аппроксимации фракционного состава позволяют в математической модели движения каждой фракции определить необходи­мые величины - приведенную плотность и аэродинамическое сопротивле­ние.

Лекция 12 аэродинамический нагрев

План лекции

2. . Тепловой пограничный слой

2. Понятие сопряженной задачи аэродинамического нагрева

3. Особенности аэродинамического нагрева при гиперзвуковых ско­ростях

1. Тепловой пограничный слой

Если полет совершается со сверхзвуковой скоростью, торможение происходит прежде всего в ударной волне, возникающей перед телом. Дальнейшее торможение молекул воздуха происходит непосредственно у самой поверхности тела, в пограничном слое. При торможении молекул воздуха их тепловая энергия возрастает, т. е. температура газа вблизи по­верхности движущегося тела повышается (рис. 1).

Рис.1. Аэродинамический нагрев при различной скорости

Максимальная температура, до которой может нагреться газ в окрестности движущегося тела, близка к температуре торможения:

То= Тн+ V²/2Cp,

где Т_н — температура набегающего воздуха, V — скорость полёта тела, c_p

• удельная теплоёмкость газа при постоянном давлении. Так, например, при полёте со скоростью звука повышение температуры воздуха у тела со­ставляет до 50 К; при полёте сверхзвукового самолёта с утроенной скоро­стью звука (около 1 км/ сек) температура торможения составляет около 400°C, а при входе космического аппарата в атмосферу Земли с 1-й косми­ческой скоростью (8,1 км/сек) температура торможения достигает 8000 °С, а со второй (11,2 км/с) - около 11000 К. Если в первом и втором случаях при достаточно длительном полёте температура обшивки самолёта достиг­нет значений, близких к температуре торможения (что допустимо), то в третьем случае поверхность космического аппарата неминуемо начнёт разрушаться из-за неспособности материалов выдерживать столь высокие температуры.

Из областей газа с повышенной температурой тепло передаётся дви­жущемуся телу, происходит аэродинамический нагрев. Существуют две формы аэродинамического нагрева — конвективная и радиационная. Кон­вективный нагрев — следствие передачи тепла из внешней, «горячей» ча­сти пограничного слоя к поверхности тела. Количественно конвективный тепловой поток определяют из соотношения

q_k = а(Те - T_w),

где T_e — равновесная температура (предельная температура, до которой могла бы нагреться поверхность тела, если бы не было отвода энергии), T_w

• реальная температура поверхности, а — коэффициент конвективного теплообмена, зависящий от скорости и высоты полёта, формы и размеров тела, а также от других факторов. Равновесная температура близка к тем­пературе торможенияи может быть определена из выражения

где г - коэффициент восстановления температуры (для ламинарного по­граничного слоя г « VPr, для турбулентного - г « VPr), T₁ и М₁ - темпе­ратура и число Маха на внешней границе пограничного слоя, k=c_p/c_v - отношение удельных теплоёмкостей газа при постоянном давлении и объ­ёме, Рг - число Прандтля.

Величина ^а зависит от скорости и высоты полёта, формы и размеров тела, а также от некоторых других факторов. Теория подобия позволяет представить законы теплообмена в виде соотношений между основными безразмерными критериями - числом Нуссельта Л и ^ /. а , числом Рей­нольдса pi'Li\.i _числом Прандтля ^ ’ •^|1'/ ^к и температурным факто­ром ^ ^ ^е, учитывающим переменность тепло физических свойств

газа поперек пограничного слоя. Здесь Си ' - плотность и скорость газа,¹¹ и а - коэффициент вязкости и теплопроводности, L - характерный размер тела. Наибольшее влияние на конвективный аэродинамический нагрев ока­зывает число Рейнольдса. В простейшем случае продольного обтекания плоской пластины закон конвективного теплообмена для ламинарного по­граничного слоя имеет вид

JS’u_w = 0,332Л «»£;⁵ Рг ¹* (р*ц*/р«.|л_а,)⁰’⁶,

где Р*и !¹* вычисляются при температуре для турбулентного погранично­го слоя

На носовой части тела с затуплением сферич. формы ламинарный теплообмен описывается соотношением:

\u_w — 0,763/?^ ⁵Pr°>* (p_elX_e!p_w\l_w)°’^A_t

где p_e и ц_е вычисляются при температуре Tf,. Эти формулы могут быть обобщены и на случай расчёта теплообмена при безотрывном обтекании тел более сложной формы с произвольным распределением давления. При турбулентном течении в пограничном слое происходит интенсификация конвективного аэродинамического нагрева, связанная с тем, что, помимо молекулярной теплопроводности, существенную роль в переносе энергии нагретого газа к поверхности тела начинают играть турбулентные пульса­ции.

При теоретичом расчёте аэродинамического нагрева аппарата, летя­щего в плотных слоях атмосферы, течение около тела можно разбить на две области - невязкую и вязкую (пограничный слой). Из расчёта течения невязкого газа во внешней области определяется распределение давления по поверхности тела. Течение в вязкой области при известном распределе­нии давления вдоль тела может быть найдено путём численного интегри­рования уравнений пограничного слоя или для расчёта аэродинамического нагрева могут быть использованы различные приближённые методы.

Аэродинамический нагрев играет существ. роль и при сверхзвуковом течении газа в каналах, в первую очередь в соплах ракетных двигателей. В пограничном слое на стенках сопла температура газа может быть близкой к температуре в камере сгорания ракетного двигателя (до 4000 К). При этом действуют те же механизмы переноса энергии к стенке, что и в по­граничном слое на летящем теле, в результате чего и возникает нагрев сте­нок сопла ракетных двигателей.

Для получения данных по аэродинамическому нагреву, особенно для тел сложной формы, в т. ч. тел, обтекаемых с образованием отрывных об­ластей, проводят экспериментальные исследования на маломасштабных, геометрически подобных моделях в аэродинамических трубах с воспроиз­ведением определяющих безразмерных параметров (чисел M, Re и темпе­ратурного фактора).

С повышением скорости полёта температура газа за ударной волной и в пограничном слое возрастает, в результате чего происходит диссоциа­ция и ионизация молекул набегающего газа. Образующиеся при этом ато­мы, ионы и электроны диффундируют в более холодную область - к по­верхности тела. Там происходит обратная химическая реакция - рекомби­нация, идущая с выделением тепла. Это даёт дополнительный вклад в кон­вективный аэродинамический нагрев. В случае диссоциации и ионизации удобно перейти от температур к энтальпиям:

где * ' ‘ 1 ’ 1 “ равновесная энтальпия, • i и ^v i - энтальпия и

скорость газа на внешней границе пограничного слоя, а - энтальпия набегающего газа при температуре поверхности. В этом случае для опре­деления Смогут быть использованы те же критериальные соотношения, что и при относительно невысоких скоростях полёта.

При полёте на больших высотах на конвективный нагрев может ока­зать влияние неравновесность физико-химических превращений. Это явле­ние становится существенным, когда характерные времена диссоциации, ионизации и др. химических реакций становятся равными (по порядку ве­личины) времени пребывания частиц газа в области с повышенной темп- рой вблизи тела. Влияние физико-химической неравновесности на аэроди­намический нагрев проявляется в том, что продукты диссоциации и иони­зации, образовавшиеся за ударной волной и в высокотемпературной части пограничного слоя, не успевают рекомбинировать в пристеночной, отно­сительно холодной части пограничного слоя, теплота реакции рекомбина­ции не выделяется и аэродинамический нагрев уменьшается. В этом случае важную роль приобретают каталитические свойства материала поверхно­сти тела. Применяя материалы или покрытия с низкой каталитической ак­тивностью по отношению к реакциям рекомбинации (например, двуокись кремния), можно заметно снизить величину конвективного аэродинамиче­ского нагрева.

Если через проницаемую поверхность тела происходит подача ("вдув") газообразного охладителя внутрь пограничного слоя, то интен­сивность конвективного аэродинамического нагрева снижается. Это про­исходит главным образом в результате дополнительных затрат тепла на нагрев вдуваемых в пограничный слой газов. Эффект снижения конвек­тивного теплового потока при вдуве инородных газов тем сильнее, чем меньше их молекулярный вес, поскольку при этом возрастает удельная теплоёмкость вдуваемого газа. При ламинарном режиме течения в погра­ничном слое эффект вдува проявляется сильнее, чем при турбулентном. При умеренных удельных расходах вдуваемого газа снижение конвектив­ного теплового потока можно определить по формуле

где ^{к 11} - конвективный тепловой поток к эквивалентной непроницаемой поверхности, G - удельный массовый расход вдуваемого газа через по­верхность, а V- коэффициента вдува, зависящий от режима течения в по­граничном слое, а также свойств набегающего и вдуваемого газов. Радиа­ционный нагрев происходит вследствие переноса лучистой энергии из об­ластей с повышенной темп-рой к поверхности тела. При этом наибольшую роль играет излучение в УФ- и видимой областях спектра. Для теоретиче­ского расчёта радиационного нагрева необходимо решать систему инте- гродифференциальных уравнений радиационной газовой динамики, учи­тывающих собственное излучение газа, поглощение излучения средой и перенос лучистой энергии по всем направлениям в окружающей тело вы­сокотемпературной области течения. Интегральный по спектру радиаци­онный поток q_P0 к поверхности тела может быть рассчитан с помощью за­кона излучения Стефана-Болъцмана:

9р0 ⁼ ^ ^2»

где Т₂ - температура газа между ударной волной и телом, о = 5,67* 10'⁸

3. 4

Вт/(м *К ) - постоянная Стефана, ^е - эфф. степень черноты излучающего объёма газа, который в первом приближении может рассматриваться как плоский изотермический слой. Величина е определяется совокупностью элементарных процессов, вызывающих излучение газов при высоких тем­пературах. Она зависит от скорости и высоты полёта, а также от расстоя­ния между ударной волной и телом.

Если относит. величина радиац. аэродинамического нагрева велика, то существ. роль начинает играть радиац. охлаждение газа за ударной вол­ной, связанное с выносом энергии из излучающего объёма в окружающую среду и понижением его темп-ры. В этом случае при расчёте радиац. А. н. должна быть введена поправка, величина к-рой определяется параметром высвечивания:

Г - Vpo'O^pHi’³,

где ^г- скорость полёта, Р^и- плотность атмосферы. При полёте в атмосфе­ре Земли со скоростями ниже первой космической (8,1 км/сек) радиац. аэродинамический нагрев мал по сравнению с конвективным. При второй космич. скорости (11,2 км/сек) они сравниваются по порядку величины, а при скоростях полёта 13-15 км/с, соответствующих возвращению на Землю после полётов к другим планетам, основной вклад вносит уже радиацион­ный нагрев.

Частный случай аэродинамического нагрева - нагрев тел, движу­щихся в верх. слоях атмосферы, где режим обтекания является свободно­молекулярным, т. е. длина свободного пробега молекул газа соизмерима или даже превышает размеры тела. В этом случае образования ударной волны не происходит и при больших скоростях полёта (порядка первой космической) для расчёта аэродинамического нагрева может быть исполь­зована простая ф-ла

g_K ^=0,5ар_н1>³ cos

где Р- угол между нормалью к поверхности тела и вектором скорости набегающего потока, а - коэф. аккомодации, к-рый зависит от свойств набегающего газа и материала поверхности и, как правило, близок к еди­нице.

С аэродинамическим нагревом связана проблема "теплового барье­ра", возникающая при создании сверхзвуковых самолётов и ракет- носителей. Важную роль аэродинамический нагрев играет при возвраще­нии космич. аппаратов в атмосферу Земли, а также при входе в атмосферу планет со скоростями порядка второй космической и выше. Для борьбы с аэродинамическим нагревом применяются специальные системы теплоза­щиты.

Особо важную роль аэродинамический нагрев играет при возвраще­нии в атмосферу Земли космических аппаратов (например, «Восток», «Восход», «Союз»). Для борьбы с аэродинамическим нагревом космиче­ские аппараты оснащаются специальными системами теплозащиты.

Литература: Основы теплопередачи в авиационной и ракетно­космической технике, M., 1975. И. А. Анфимов.

Так как у поверхности твердого тела имеется тонкий слой неподвиж­ной жидкости, из уравнения (4.2) следует, что плотность теплового потока на стенке (теплоотдача) может быть определена по уравнению Фурье, где n

• нормаль к поверхности тела:

Если известно температурное поле, то q_c можно вычислить, не обра­щаясь к закону Ньютона-Рихмана - (4.21'). При необходимости по извест­ному температурному полю можно определить и коэффициент теплоотда­чи. Из уравнений (4.21) и (4.21') следует выражение (4.22). Будем называть это уравнение уравнением теплоотдачи. Из условия равенства нулю отно­сительной скорости жидкости на поверхности тела следуют и другие важ­ные для расчетной практики выводы, облегчающие нахождение поля тем­ператур, и, следовательно, определение q_c и а.

Тепловой пограничный слой. Аналогично понятию гидродинамиче­ского пограничного слоя Г. Н. Кружилиным было введено понятие тепло­вого пограничного слоя (рис. 4.7).

Рис. 4.7. Изменение температуры в тепловом пограничном слое.

Тепловой пограничный слой — это слой жидкости у стенки, в преде­лах которого температура изменяется от значения, равного температуре стенки, до значения, равного температуре жидкости вдали от тела. Для об­ласти внутри теплового пограничного слоя справедливо условие 5T/5y^0, а на внешней границе и вне его (точнее, при y=k T=(1—s)T₀, где s<<1, так как температура T должна асимптотически стремиться к значению T0) dt/dy=0 и T=T₀. Таким образом, все изменение температуры жидкости со­средоточивается в сравнительно тонком слое, непосредственно прилегаю­щем к поверхности тела. Рассматривая теплоотдачу при обтекании плос­кой поверхности неограниченным потоком жидкости, мы выясним усло­вие, при котором выполняется неравенство к -с; /, где к — толщина тепло­вого пограничного слоя. Толщины гидродинамического и теплового по­граничных слоев 5 и к в общем случае не совпадают — это зависит от рода жидкости и некоторых параметров процесса течения и теплообмена. Будем полагать, что они одного порядка: k=O(5). Ввиду малости толщины тепло­вого граничного слоя можно пренебречь теплопроводностью вдоль слоя по сравнению с поперечным переносом теплоты, т. е. положить

Тогда для рассматриваемого случая уравнение энергии примет вид

9 9

(4.30). Учитывая, что q_y=—ЦдИду) и, следовательно к(д t/dy ) =—

dq_y/dy, правую часть уравнения (4.30) можно представить в виде Чтобы замкнуть задачу, к уравнению (4.30) необходимо добавить уравне­ние движения (4.28) и уравнение сплошности (4.29). Напомним, что систе­ма дифференциальных уравнений (4.28), (4.29) и (4.30) получена для ста­ционарного безградиентного омывания плоской поверхности жидкостью с постоянными физическими свойствами; в жидкости отсутствуют внутрен­ние источники теплоты, выделение тепла трения пренебрежимо мало. За­метим, что при принятых здесь условиях поле скоростей не зависит от по­ля температур. Своеобразно строится пограничный слой в случае свобод­ного теплового течения, вызванного разностью плотностей более и менее нагретых частиц жидкости. Данное ранее определение пограничных слоев остается справедливым и для свободного движения. Однако во многих случаях скорость вдали от тела, у которого возникло свободное движение, равна нулю. На рис. 4.8 приведено примерное распределение температур и скоростей в определенном сечении свободного потока у горячего тела. В данном случае толщины теплового и гидродинамического слоев также мо­гут не совпадать. При свободном тепловом движении (ю₀=0) в дифферен­циальном уравнении движения (4.28) должен быть учтен член gP0. В этом случае поле скоростей неразрывно связано с полем температур (теплооб­меном).

t.w

Рис. 4.8. Гидродинамический и тепловой пограничные слои при сво­бодном движении.

Форма и размеры поверхности теплообмена существенно влияют на теплоотдачу. В зависимости от этих факторов может резко меняться харак­тер обтекания поверхности, по-иному строится пограничный слой. В тех­нике имеется большое многообразие поверхностей нагрева. Каждая такая поверхность создает специфические условия движения и теплоотдачи. Из­вестно, что имеются два основных режима течения жидкости: ламинарный и турбулентный. При ламинарном режиме частицы жидкости движутся без перемешивания, слоисто; при турбулентном — неупорядоченно, хаотиче­ски, направление и величина скорости отдельных частиц беспрестанно ме­няются Эти режимы течения наблюдаются и в пограничном слое. При ма­лых значениях x течение в пограничном слое может быть ламинарным. По мере увеличения х толщина пограничного слоя возрастает, слой делается неустойчивым и течение в пограничном слое становится турбулентным. Как будет показано в дальнейшем, теплоотдача существенно зависит от режима течения. Полученная нами система дифференциальных уравнений (4.28) — (4.30) описывает теплообмен только в ламинарном пограничном слое.