2 Вопрос.

Умножение матрицы – умножение матрицы А(m*n) на матрицу В(k*l)  число столбцов 1-ой матрицы равно числу строк 2-ой матрицы. Получаем новую матрицу С=А*В(m*l) – размерность (m*l).

Свойства умножения матриц. Если матрицы А, В и С подходящих порядков, то справедливы следующие свойства операции умножения матриц:

1. Свойство ассоциативности умножения матриц  .

2. Два свойства дистрибутивности   и 

3. Умножения матриц некоммутативна .

4. Единичная матрица Е порядка n на n является нейтральным элементом по умножению, то есть, для произвольной матрицы А порядка p на n справедливо  , а для произвольной матрицыА порядка n на p справедливо  .

- Матрица A⁻¹ называется обратной к матрице А если выполняется условие : A⁻¹ * А =А * A⁻¹ =E.

3 Вопрос.

Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Под элементарными преобразованиями матриц подразумевают:

а) отбрасывание 0-строки ( столбца)

б)умножение всех элементов строки(столбца) на не 0-ое число.

в)изменение порядка строк столбцов матрицы.

г)прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементам другой строки умноженное на любое число отличное от нуля.

д)транспонирование матрицы также относится к элементарным преобразованиям А=А^Т.

Метод вычисления обратной матрицы:

1. Метод элементарных преобразований. Метод Гаусса.

- ( А_n*n Ι E_n )=Г_n*2n – матрица гамма

- с помощью элементарных преобразований из матрицы Г≈(А₁ Ι Е)

- Г₁≈(Е Ι А^-1)=Г₂

-А^-1А=А*А^-1=Е

Рангом матрицы r(A) называется наибольший порядок отличного от нуля минора данной матрицы r(A)=r(A) => A≈B.

4 Вопрос.

Определителем второго порядка называется число равное разности произведений элементов главной и второй диагонали:

Свойство 1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот.

Покажем это. Пусть дан определитель второго порядка

Заменим строки столбцами и снова вычислим получившийся определитель

Сравнивая D с D^* можно убедиться, что D = D^*.

Определение 5. Операция замены строк столбцами (или наоборот) в определителе называется транспонированием.

Свойство 2. При перестановке двух строк или столбцов определитель меняет свой знак.

Поверку этого свойства проведем на примере, как и для свойства 1. Пусть дан определитель

Поменяем в нем местами столбцы и вычислим получившийся определитель.

Сравнивая результаты, убеждаемся, что определитель, действительно, поменял свой знак. Поменяем теперь местами строки и вновь убедимся в справедливости данного свойства.

Заметим, что все остальные приводимые здесь свойства доказываются аналогично на примерах, очень просто и поэтому далее все свойства приводятся без доказательств. Читатель может в качестве упражнений самостоятельно проверить каждое из этих свойств.

Свойство 4. Если все элементы какого-либо столбца (или строки) матрицы умножить (или разделить) на одно и то же число m, отличное от нуля, то определитель также умножится (разделится) на это число.

Свойство 5. Определитель, у которого элементы одной строки (столбца) пропорциональны другой строке (столбцу), равен нулю.

Свойство 6. Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) можно представить как сумму двух слагаемых, то определитель будет равен сумме двух определителей. У первого из слагаемых определителей элементами соответствующей строки (столбца) будет первое слагаемое, а у другого - второе. Остальные элементы этих определителей будут такие же, как у исходного.

Сравнивая результат с исходным определителем убеждаемся в справедливости шестого свойства.

Это свойство широко используется для практических вычислений при работе с определителями порядка больше трех.

Свойство 7. Определитель не изменится, если к элементам какого-либо столбца(строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), предварительно умноженные на какое-либо число.

Определителем третьего порядка называется следующее выражение:

Правило треугольников: определитель 3-его порядка равен сумме 6-ти произведений из которых берутся 3 с положительным и 3 с отрицательным.

Правило Саррюса. Усовершенствованный метод треугольников.

Свойство 1. Величина определителя не изменяется при замене строк столбцами.

Свойство 2. При перестановке двух строк (столбцов) между собой, величина определителя меняет знак.

Свойство 3. Определитель с двумя одинаковыми (пропорциональными) строками (столбцами) равен нулю.

Свойство 4. Если все элементы некоторой строки (столбца) содержат одинаковый множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя.

Свойство 5. Если все элементы некоторой строки (столбца) есть сумма равного числа слагаемых, то определитель будет равен сумме определителей, в которых элементы указанной строки (столбца) записываются отдельными слагаемыми.

Свойство 6. Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то весь определитель тоже равен нулю.

Свойство 7. Величина определителя не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) добавить соответствующие элементы другой строки(столбца), предварительно умножив их на один и тот же множитель.