3. Построение диаграммы временного ряда:

товарооборот компании за последние 11 кварталов

Таблица 1.
Дата	Номер квартала	объем выпуска
Январь - март 2009	1	27
Апрель - июнь	2	47
Июль - сентябрь	3	53
Октябрь - декабрь	4	66
Январь - март 2010	5	82
Апрель - июнь	6	81
Июль - сентябрь	7	76
Октябрь - декабрь	8	83
Январь - март 2011	9	91
Апрель - июнь	10	103
Июль - сентябрь	11	85

Рис1: Диаграмма временного ряда

2). Анализ модели с аддитивной компонентой: A = T + S + E

Аддитивная модель представляется как

Фактическое значение = Трендовое значение + Сезонная вариация + Ошибка, т.е.

A = T + S + E.

2.1 Расчет сезонной компоненты методом скользящей средней (S).

Чтобы найти центрированную скользящую среднюю ищем её как средне двух соседних скользящих средних.

Таблица 2. Расчёт по 4 точкам центрированных скользящих средних значений тренда для модели

A - T = S + E

Дата	объем выпуска	Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за четыре квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты A - T = S + E
Январь - март 2009	27
Апрель – июнь	47
		193	48,25
Июль – сентябрь	53			55,125	-2,125
		248	62
Октябрь – декабрь	66			66,25	-0,25
		282	70,5
Январь - март 2010	82			73,375	8,625
		305	76,25
Апрель – июнь	81			78,375	2,625
		322	80,5
Июль – сентябрь	76			81,625	-5,625
		331	82,75
Октябрь – декабрь	83			85,5	-2,5
		353	88,25
Январь - март 2011	91			89,375	1,625
		362	90,5
Апрель - июнь	103
Июль - сентябрь	85

Таким образом, получили десезонализированную среднюю за каждый квартал (кроме 2-х начальных и конечных).

Найдем средние значения сезонных оценок для каждого сезона года. Скорректируем средние значения, увеличивая или уменьшая их на одно и то же число (0,61) таким образом, чтобы общая их сумма была равна нулю.

Таблица 3.

Год	Номер квартала
	1	2	3	4
2009			-2,175	-0,25
2010	8,625	2,625	-5,625	-2,5
2011	1,625
Итого	10,25	2,625	-7,8	-2,75	Сумма
Оценка сезонной компоненты	5,13	2,63	-3,90	-1,38	2,48
Скорректированная сезонная компонента*	4,51	2,01	-4,52	-1,99	0,00

Корректируем сезонную компоненту следующим образом: полученную сумму усредненных оценок сезонных компонент делим на 4 (число кварталов) и полученное частное вычитаем из оценки сезонной компоненты, приравнивая таким образом их сумму к нулю. (Это необходимо, чтобы усреднить значения сезонной компоненты в целом за год).

Из полученных значений видно неравномерное распределение товарооборота по кварталам: положительный прирост в январе - июне и отрицательный – в июле – декабре.

2.2. Десезонализация данных при расчете тренда

Десезонализация заключается в вычитании соответствующих значений сезонной компоненты из фактических значений, данных за каждый квартал, т.е. A – S = T + E.

Таблица 4.

Дата	квартал	Объём товарооборота, тыс. A	Сезонная компонента S	Десезонализированный объём продаж, тыс. шт. A - S = T + E
Январь - март 2009	1	27	4,51	22,49
Апрель – июнь	2	47	2,01	44,99375
Июль – сентябрь	3	53	-4,52	57,51875
Октябрь – декабрь	4	66	-1,99	67,99375
Январь - март 2010	5	82	4,51	77,49375
Апрель – июнь	6	81	2,01	78,99375
Июль – сентябрь	7	76	-4,52	80,51875
Октябрь – декабрь	8	83	-1,99	84,99375
Январь - март 2011	9	91	4,51	86,49375
Апрель - июнь	10	103	2,01	100,99375
Июль - сентябрь	11	85	-4,52	89,51875

Рис.2. Фактический и десезонализирванный товарооборот.

Гистограмма с линией тренда ОХ – квартал, ОУ товарооборот. Линия тренда – оценка.

2.3. Оценка значений тренда.

T = a + b х – номер квартала, где x – порядковый номер квартала, y – значение (T + E) в предыдущей таблице. С помощью калькулятора подсчитаем:

,

,

b=6,209

a=34,74

Трендовое значение объема продаж, тыс. шт: Т =34,74+6,209 x номер квартала

\2.4. Расчет ошибок или остатка.

Вычитая из фактического товарооборота значения тренда и сезонной составляющей можно найти значения ошибок.

Дата	квартал	Объём товарооборота, тыс. A	Сезонная компонента S	Десезонализиро-ванный объём продаж, тыс. шт. A - S = T + E	Трендовое значение, тыс. шт. Т	Ошибка, тыс. шт. A - S - T = E
Январь - март 2009	1	27	4,51	22,49	40,95	-18,46
Апрель - июнь	2	47	2,01	44,99	47,16	-2,17
Июль - сентябрь	3	53	-4,52	57,52	53,37	4,15
Октябрь - декабрь	4	66	-1,99	67,99	59,58	8,41
Январь - март 2010	5	82	4,51	77,49	65,79	11,70
Апрель - июнь	6	81	2,01	78,99	72,00	6,99
Июль - сентябрь	7	76	-4,52	80,52	78,21	2,31
Октябрь - декабрь	8	83	-1,99	84,99	84,42	0,57
Январь - март 2011	9	91	4,51	86,49	90,63	-4,14
Апрель - июнь	10	103	2,01	100,99	96,84	4,15
Июль - сентябрь	11	85	-4,52	89,52	103,05	-13,53

Таблица 5.

Среднее абсолютное отклонение (MAD) или среднеквадратическая ошибка (MSE):

6,96,

76,58.

Тенденция, выявленная по фактическим данным, достаточно устойчивая и позволяет получить хорошие краткосрочные данные.

Построим графики, на котором отразим фактические данные, значения тренда и оценки

Тенденция, выявленная по фактическим данным

• позволяет говорить, что объем выпуска продукции увеличивается со временем,

• позволяет получить достоверные краткосрочные прогнозы.

Построим график, на котором отразим фактические данные, значения тренда и оценки

Рис.3 Фактические данные, десезонализированный объем выпуска продукции и трендовые значения.

Вывод: чем более отдаленным является период упреждения, тем менее точным оказывается обоснованность прогноза. В данном случае мы предположим, что тенденция, обнаруженная по ретроспективным данным, распространяется и на будущий период. Для сравнительно небольших периодов упреждения такая предпосылка может действительно иметь место, однако ее выполнение становится менее вероятным по мере составления прогнозов на более отдаленную перспективу.

Построим график линейного, степенного и полиномиального тренда:

Вывод: Из трех трендов (линейного, степенного и полиномиального), наиболее точно описывает данную модель полиномиальный, т.к. у него более высокий коэффициент детерминации, R²=0.9773.

1.Линейная регрессия и оценка ее параметров.

Ранее было найдено, что b=6,209 , a=34,74

, Получаем y = 34,74+6,209*Х

Вывод:

• Так как а>0,то относительное изменение объемов выпуска продукции происходит медленней, чем смена кварталов.

• А это значит, что с увеличением квартала – х , прибыль будет увеличиваться в среднем на 6,209 тыс.руб..

2.Коэффициент корреляции (r_xy):

b= 6,209- коэффициент регрессии

r_xy =0,91

Вывод:

1).Т.к. коэффициент регрессии (b=6,209) и b>0, то товарооборот увеличивается при неизменном уровне предыдущего значения уровня продаж

2). Т.к. коэффициент корреляции близок к 1 (r_xy =0,91), то мы имеем тесную зависимость между нашими параметрами.

3.Коэффициент детерминации:

R² = 0,91² = 0,8343

Вывод: Так как коэффициент детерминации близок к 1 (R²=0,8343), то в построенной модели 0,83% изменения спроса объясняются изменением номера квартала.

4. Средняя ошибка аппроксимации:

=72,05

=1/11*0.1936*100% = 1,76%

Вывод: Т.к. Средняя ошибка аппроксимации <8-10 %, то достоверность построенной модели высокая, в среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 1,76%.

5.Эластичность:

Э=3,31*0,158.= 0,52%

Вывод: на 0,52% в среднем изменится по совокупности объем выпуска продукции от своей средней величины при изменении временных кварталов на 1% от своей средней величины.

Упражнение 1.4

Используя данные для «Peace Retailers» из упражнения 1.2.

Требуется:

1. Рассчитать ошибку, среднее абсолютное отклонение (MAD) и среднеквадратическую ошибку (MSE) для модели с аддитивной компонентой, построенной в упражнении 1.2.

2. Используя простую экспоненциальную модель скользящего среднего, вычислить прогнозные значения при F₀=150 и a=0.09, ошибку и соответствующее MAD и MSE.

3. Сравнить результаты, полученные в п.п. 1 и 2, и сделать вывод о том, какая из моделей лучше.

Решение:

1. Спрос на стулья, которые продает компания «Peace Retailers», составил:

Год	1	2	3
Квартал	3 4	1 2 3 4	1 2 3 4
Спрос	157 137	156 151 153 141	154 152 154 142

Построение диаграммы временного ряда:

Таблица 1

Спрос на стулья компании «Peace Retailers»
2009	Июль-сентябрь	157
	Октябрь-декабрь	137
2010	Январь-март	156
	Апрель-июнь	151
	Июль-сентябрь	153
	Октябрь-декабрь	141
2011	Январь-март	154
	Апрель-июнь	152
	Июль-сентябрь	154
	Октябрь-декабрь	142

Рис. 1 Диаграмма временного ряда

Анализ модели с аддитивной компонентой: A = T + S + E

Аддитивная модель представляется как

Фактическое значение = Трендовое значение + Сезонная вариация + Ошибка, т.е.

A = T + S + E.

2.1 Расчет сезонной компоненты методом скользящей средней (S).

Чтобы найти центрированную скользящую среднюю ищем её как средне двух соседних скользящих средних.

Год	Квартал	Спрос	Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за четыре квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты A - T = S + E
2009	Январь-март
	Апрель-июнь
	Июль-сентябрь	157
	Октябрь-декабрь	137	601	150,25
2010	Январь-март	156	597	149,25	149,75	6,25
	Апрель-июнь	151	601	150,25	149,75	1,25
	Июль-сентябрь	153	599	149,75	150,00	3,00
	Октябрь-декабрь	141	600	150	149,88	-8,88
2011	Январь-март	154	601	150,25	150,13	3,88
	Апрель-июнь	152	602	150,5	150,38	1,63
	Июль-сентябрь	154
	Октябрь-декабрь	142

Таблица 2

Таким образом, получили десезонализированную среднюю за каждый квартал (кроме 2-х начальных и конечных).

Найдем средние значения сезонных оценок для каждого сезона года. Скорректируем средние значения, увеличивая или уменьшая их на одно и то же число таким образом, чтобы общая их сумма была равна нулю.

Показатели	Год	№ квартала, i
		Январь-март	Апрель-июнь	Июль-сентябрь	Октябрь-декабрь
	2009
	2010	6,25	1,25	3,00	-8,88
	2011	3,88	1,63
Всего за i-й квартал		10,13	2,88	3,00	-8,88
Средняя оценка сезонной компоненты для i-го квартала, SСР		5,07	1,44	3,00	-8,88
Скорректированная сезонная компонента, Si		4,91	1,28	2,84	-9,04

Таблица 3

Корректируем сезонную компоненту следующим образом: полученную сумму усредненных оценок сезонных компонент делим на 4 (число кварталов) и полученное частное вычитаем из оценки сезонной компоненты, приравнивая таким образом их сумму к нулю. (Это необходимо, чтобы усреднить значения сезонной компоненты в целом за год).

Из полученных значений видно неравномерное распределение спроса по кварталам: положительный прирост в январе-сентябре и отрицательный – в октябре-декабре.

2.2. Десезонализация данных при расчете тренда

Десезонализация заключается в вычитании соответствующих значений сезонной компоненты из фактических значений, данных за каждый квартал, т.е. A – S = T + E.

Расчёт десезонализированных данных
Год	Номер квартала	Спрос A	Сезонная компонента S	Десезонализированный спрос A - S = T + E
2009	Июль-сентябрь	157	2,84	154,16
	Октябрь-декабрь	137	-9,04	146,04
2010	Январь-март	156	4,91	151,09
	Апрель-июнь	151	1,28	149,72
	Июль-сентябрь	153	2,84	150,16
	Октябрь-декабрь	141	-9,04	150,04
2011	Январь-март	154	4,91	149,09
	Апрель-июнь	152	1,28	150,72
	Июль-сентябрь	154	2,84	151,16
	Октябрь-декабрь	142	-9,04	151,04

Таблица 4

Рис.2 Фактический и десезонализированный спрос

Гистограмма с линией тренда ОХ – квартал, ОУ товарооборот. Линия тренда – десезонализированные данные.

2.3. Оценка значений тренда.

T = a + b х – номер квартала, где x – порядковый номер квартала, y – значение (T + E) в предыдущей таблице.

Трендовое значение спроса: Т = 150,192+0,024*x, где х - номер квартала.

Год	Номер квартала	Спрос A	Сезонная компонента S	Трендовое значение, тыс. шт. Т	Ошибка, тыс. шт. A - S - T = E
2009	Июль-сентябрь	157	2,84	150,264	3,90
	Октябрь-декабрь	137	-9,04	150,288	-4,25
2010	Январь-март	156	4,91	150,312	0,78
	Апрель-июнь	151	1,28	150,336	-0,62
	Июль-сентябрь	153	2,84	150,36	-0,20
	Октябрь-декабрь	141	-9,04	150,384	-0,34
2011	Январь-март	154	4,91	150,408	-1,32
	Апрель-июнь	152	1,28	150,432	0,29
	Июль-сентябрь	154	2,84	150,456	0,70
	Октябрь-декабрь	142	-9,04	150,48	0,56

MAD=0,05

MSE=3,69

Тенденция, выявленная по фактическим данным

• позволяет говорить, что спрос незначительно увеличивается со временем,

• позволяет получить достоверные краткосрочные прогнозы.

Построим график, на котором отразим фактические данные, значения тренда и оценки

Рис.3 Фактические данные, десезонализированный товарооборот и трендовые значения.

2. Используя простую экспоненциальную модель скользящего среднего, вычислить прогнозные значения при F₀=150 и a=0.09, ошибку и соответствующее MAD и MSE.

T=150*e^-0.09*x

Год	Номер квартала	Спрос A	Сезонная компонента S	Трендовое значение, тыс. шт. Т	Ошибка, тыс. шт. A - S - T = E	E^2
2009	3	157	2,84	114,5101	39,65	1572,11
	4	137	-9,04	104,6554	41,38	1712,69
2010	5	156	4,91	95,64869	55,44	3073,74
	6	151	1,28	87,41713	62,30	3881,65
	7	153	2,84	79,89399	70,27	4937,31
	8	141	-9,04	73,01829	77,02	5932,34
2011	9	154	4,91	66,73431	82,36	6782,46
	10	152	1,28	60,99114	89,73	8051,27
	11	154	2,84	55,74223	95,42	9104,55
	12	142	-9,04	50,94503	100,09	10019,00

MAD= 59,47198

MSE= 4588,927

3. Сравнивая полученные модели и значения MAD и MSE, можно сделать следующие выводы:

• Для линейной модели MAD=0,05, MSE=3,69

• Для экспоненциальной модели MAD= 59,47198, MSE= 4588,927

• Анализируя полученные значения среднего абсолютного отклонения и среднеквадратической ошибки, можно сделать вывод, что данные по спросу на стулья компании «Peace Retailers» лучше описываются с помощью линейной модели.