27.Построение линии пересечения пирамиды с прямой призмой

По исходным данным строим пирамиду и прямую призму.

 

Строим линию пересечения грани GU с призмой ABCD

 

Строим точки пересечения ребер пирамиды с гранями призмы UE и EK (точки 4, 5, 6)

 

Находим точки  пересечения ребра призмы E с гранями пирамиды (точки 7 и 8) и строим линию пересечения 48567.

  

28.Поверхности вращения

к поверхностям вращения относятся поверхности, образующиеся вращением линии l вокруг прямой i, представляющей собой ось вращения. они могут быть линейчатыми, например конус или цилиндр вращения, и нелинейчатыми или криволинейными, например сфера. определитель поверхности вращения включает образующую l и ось i. криволинейная поверхность вращения образуется при вращении лю-

каждая точка образующей при вращении описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения. такие окружности поверхности вращения называются параллелями. наибольшую из параллелей называютэкватором. экватор .определяет горизонтальный очерк поверхности, если i _|_ п₁. в этом случае параллелями являются горизонтали h этой поверхности.

кривые поверхности вращения, образующиеся в результате пересечения поверхности плоскостями, проходящими через ось вращения, называются меридианами. все меридианы одной поверхности конгруэнтны. фронтальный меридиан называют главным меридианом; он определяет фронтальный очерк поверхности вращения. профильный меридиан определяет профильный очерк поверхности вращения.

строить точку на криволинейных поверхностях вращения удобнее всего с помощью параллелей поверхности. на рис. 103 точка м построена на параллели h⁴.

поверхности вращения нашли самое широкое применение в технике. они ограничивают поверхности большинства машиностроительных деталей.

коническая поверхность вращения образуется вращением прямой i вокруг пересекающейся с ней прямой — оси i (рис. 104, а). точка м на поверхности построена с помощью образующей l и параллели h. эту поверхность называют еще конусом вращения или прямым круговым конусом.

цилиндрическая поверхность вращения образуется вращением прямой l вокруг параллельной ей оси i (рис. 104, б).эту поверхность называют еще цилиндром или прямым круговым цилиндром.

сфера, образуется вращением окружности вокруг ее диаметра (рис. 104, в). точка a на поверхности сферы принадлежит главному

Очерк - границы видимости поверхности по отношению к плоскостям проекций.

29. Точка и линия на поверхности

В общем случае линия может принадлежать поверхности или не принадлежать. Линия принадлежит поверхности, если все ее точки принадлежат этой поверхности (см. рис. 103, линияl). Исключение составляет случай, когда линия представлена прямой, а поверхность — плоскостью. В этом случае для принадлежности прямой плоскости достаточно, чтобы хотя бы две точки ее принадлежали этой поверхности (см. § 49). Задачи построения линий, принадлежащих поверхности, входят составной частью в задачи построения линий пересечения поверхностей плоскостью и пересечения двух поверхностей, которые рассматриваются в §§ 63, 64.

Если линия не принадлежит поверхности, то они пересекаются. Простейшим случаем является пересечение с поверхностью прямой линии. Задача решается путем заключения данной линии в какую-либо проецирующую плоскость и построением натуральной величины сечения, из которого легко определить точку входа и выхода прямой. Задачи такого типа рассматриваются в § 63.

Точка может принадлежать поверхности и не принадлежать. Точка принадлежит поверхности, если она лежит на линии, расположенной на этой поверхности. На рис. 104, в точка Мпринадлежит сферической поверхности, так как она находится на линии окружности /г', лежащей на этой поверхности. Точки А и В тоже принадлежат сферической поверхности, так как они расположены на линиях очерковых окружностей, принадлежащих сферической поверхности. Примеры принадлежности точки поверхности можно привести и в случае наличия конической поверхности (точка М на рис. 104, а), поверхности тора (точка М на рис. 105) и поверхности более сложной формы (точка М на рис. 103).

Задача определения принадлежности точки поверхности решается следующим способом. Если заданы проекции элементов поверхности и точки, необходимо на одной из плоскостей проекций через заданную точку провести линию, принадлежащую поверхности, и построить проекцию этой линии на одной плоскости проекций. Если вторая проекция пройдет через вторую проекцию точки — точка принадлежит поверхности, если не пройдет — не принадлежит.

Эту задачу можно рассмотреть на примере рис. 104, а. На комплексном чертеже задана коническая поверхность очерковыми линиями. Задана также точка М горизонтальной и фронтальной проекций. Через горизонтальную проекцию точки проведем горизонтальную проекцию h₁окружности, принадлежащей конической поверхности. Построив фронтальную проекцию h₂ этой окружности, убеждаемся, что она прошла через фронтальную проекцию точки. Это и подтверждает, что точка принадлежит конической поверхности.

Данная задача может быть решена и другим путем. При тех же исходных данных через фронтальную проекцию М₁ точки проводим проекцию одной из образующих f Построив горизонтальную проекцию h образующей, убеждаемся, что она прошла через горизонтальную проекцию М₁ точки М, и это позволяет сделать вывод о том, что точка М принадлежит конической поверхности.

Принципы построения точек и линий на поверхностях положены в основу построения линий пересечения, срезов, вырезов, проницаний и др., что определяет построение сложных геометрических тел, и в итоге — деталей, узлов, машин, зданий, сооружений.

30.ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ

При оценке взаимного расположения прямой линии и поверхности в качестве вспомогательных секущих поверхностей-посредников используется плоскость - метод вспомогательных секущих плоскостей.

Задача: Определить точки пересечения прямой линии с поверхностью конуса вращения и определить видимость прямой по отношению к конусу.

Для выбора вспомогательной секущей плоскости требуется знание линий образующихся в конических сечениях. Если в качестве вспомогательной секущей плоскости можно выбрать горизонтально проецирующую или фронтально проецирующую плоскости, то в сечении получатся соответственно гипербола (рис.111а) или эллипс (рис.111б). Построение кривых линий значительно усложняет задачу.

а) горизонтально проецирующая плоскость		б) фронтально проецирующая плоскость
Рисунок 111. Пересечение прямой линии с конусом  (вспомогательная секущая плоскость - проецирующая)

Поэтому в качестве вспомогательной секущей плоскости целесообразно выбрать такую плоскость, которая бы включала прямую l  и пересекала конус по образующим (рис.112). Очевидно, что такая плоскость определяется прямой l  и точкой S - вершиной конуса. Пусть основание конуса лежит в горизонтальной плоскости проекций, тогда линия пересечения вспомогательной секущей плоскости и горизонтальной плоскости проекций ВС пересекает основание конуса в точках D и F. Таким образом в сечении конуса вспомогательной секущей плоскостью получится треугольник DFS. Так как полученный треугольник и прямая l  лежат в одной плоскости, точки их пересечения К и М и есть точки пересечения прямой с конусом.

		б) эпюр
Рисунок 112. Пересечение прямой линии с конусом  (вспомогательная секущая плоскость-плоскость общего положения)

рис. 103

рис. 104

меридиану f, точка в — экватору h, а точка м построена на вспомогательной параллели h'.

тор образуется вращением окружности или ее дуги вокруг оси, лежащей в плоскости окружности. если ось расположена в пределах образующейся окружности, то такой тор называется закрытым (рис. 105, а). если ось вращения находится вне окружности, то такой тор называется открытым (рис. 105, б). открытый тор называется еще кольцом.

поверхности вращения могут быть образованы и другими кривыми второго порядка. эллипсоид вращения (рис. 106,а) образуется вращением эллипса вокруг одной из его осей; параболоид вращения (рис. 106, б) — вращением параболы вокруг ее оси; гиперболоид вращения однополостный (рис. 106, в) образуется вращением гиперболы вокруг мнимой оси, а двуполостный (рис. 106, г) — вращением гиперболы вокруг действительной оси.

в общем случае поверхности изображаются не ограниченными в направлении распространения образующих линий (см. рис. 97, 98). для решения конкретных задач и получения геометрических фигур ограничиваются плоскостями обреза. например, чтобы получить круговой цилиндр, необходимо ограничить участок цилиндрической поверхности плоскостями обреза (см. рис. 104, б). в результате получим его верхнее и нижнее основания. если плоскости обреза перпендикулярны оси вращения, цилиндр будет прямым, если нет — цилиндр будет наклонным.

рис. 105

рис. 106

чтобы получить круговой конус (см. рис. 104, а), необходимо выполнить обрез по вершине и за пределами ее. если плоскость обреза основания цилиндра будет перпендикулярна оси вращения — конус будет прямой, если нет — наклонный. если обе плоскости обреза не проходят через вершину — конус получим усеченным.

с помощью плоскости обреза можно получить призму и пирамиду. например, шестигранная пирамида будет прямой, если все ее ребра имеют одинаковый наклон к плоскости обреза. в других случаях она будет наклонной. если она выполнена с помощью плоскостей обреза и ни одна из них не проходит через вершину — пирамида усеченная.

призму (см. рис. 101) можно получить, ограничив участок призматической поверхности двумя плоскостями обреза. если плоскость обреза перпендикулярна ребрам, например восьмигранной призмы, она прямая, если не перпендикулярна — наклонная.

выбирая соответствующее положение плоскостей обреза, можно получать различные формы геометрических фигур в зависимости от условий решаемой задачи.