§12. Импульс материальной точки, тела

Импульсом материальной точки называют вектор p, равный произведению массы m точки на ее скорость v в данной системе отсчета.

. (12.1)

Импульс материальной точки является одной из важнейших ее динамических характеристик, зависящих как от скорости движения точки, так и от ее инертности (массы).

Второй закон Ньютона для материальной точки т (7.1) можно записать в виде:

. (12.2)

Выражение (12.2) является более общей записью этого закона, который можно трактовать следующим образом: «Скорость изменения импульса p материальной точки равна сумме сил, действующих на эту точку». В такой форме второй закон Ньютона можно применять для тел и в случае их переменной массы.

Импульсом P системы материальных точек называют геометрическую сумму импульсов всех материальных точек системы.

. (12.3)

Импульс P тела массой m, состоящего из материальных точек, в случае его поступательного движения со скоростью v равен:

.

В этом случае импульс тела является мерой его движения. Однако эта характеристика не может служить универсальной мерой для всех форм движения. Поясним это следующими примерами.

1. Например, если однородное тело правильной формы (шар или куб) равномерно вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через центр симметрии, то легко проверить, что векторная сумма (12.3) импульсов всех материальных точек равна нулю при любой угловой скорости тела. Следовательно, импульс тела не может служить мерой его вращательного движения .

2. Два тела массой 1кг и 2кг, соответственно, свободно падая с высот 20м и 5м, имеют у поверхности Земли одинаковые импульсы. Однако, как показывают опыты, при ударе о Землю первое тело способно сжать две одинаковые пружины на столько же, насколько второе тело может сжать только одну из этих пружин. Таким образом, импульс тела не может полностью количественно охарактеризовать динамические свойства тел даже при поступательном движении.

Единой мерой различных форм движения служит физическая величина, называемая энергией.

§13. Энергия

Установлено, что все формы движения превращаются друг в друга в строго определенных количественных соотношениях. Именно это обстоятельство и позволило ввести понятие об энергии, т.е. позволило измерять различные формы движения и взаимодействия единой мерой.

Энергия механической системы количественно характеризует ее с точки зрения возможных в ней превращений движения. Эти превращения обусловлены взаимодействием тел системы, как между собой, так и с внешними телами.

Важность понятия энергии определяется еще и тем, что энергия подчиняется закону сохранения. Это означает, что если взаимодействием данной системы с окружающим миром можно пренебречь, то в этой системе при любых процессах энергия может только превращаться из одной формы в другую, сохраняя свое значение. Понятие энергии связывает воедино все явления природы. Поэтому вводят понятия механической энергии (механика), внутренняя энергия (термодинамика), электромагнитная энергия (электричество и магнетизм), ядерная энергия (ядерная физика) и др.

Механическую энергию разделяют на два вида: кинетическую и потенциальную энергии.

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия Е_к материальной точки является мерой ее механического движения.

Пусть на материальную точку массой m, движущуюся со скоростью v действует сила F. На малом участке dr эта сила совершает работу A, равную Fdr, а скорость материальной точки изменяется от v до значения v+dv.

Из второго закона Ньютона для материальной точки m следует:

.

Отсюда, .

Работа, совершаемая силой F при возрастании скорости материальной точки от v₁ до v₂, равна:

.

Здесь учтено, что . (см.2.6)

Величина называется кинетической энергией материальной точки т.

Таким образом, можно сказать, что работа, совершаемая над материальной точкой произвольной силой, равна изменению кинетической энергии этой точки:

. (13.1)

Если работа силы положительна, то кинетическая энергия частицы возрастает, если отрицательна, то убывает.

Это позволяет интерпретировать кинетическую энергию частицы как запас работы, которую совершили над ней внешние силы. Этот запас может расходоваться (кинетическая энергия убывает), и тогда внешние силы совершают отрицательную работу. Говорят, что кинетическая энергия израсходована на работу против внешних сил.

Кинетическая энергия – величина аддитивная. Это означает, что кинетическая энергия Е_к системы N материальных точек равна сумме кинетических энергий всех точек, входящих в эту систему.

, (13.2)

где - масса и скорость i-ой материальной точки.

Полученные результаты можно обобщить на случай произвольной системы материальных точек.

Если записать соотношение (13.1) для каждой материальной точки и затем все уравнения сложить, то мы получим:

А_{всех сил} = – = (Е_к)_кон – (Е_к)_нач. (13.3)

Таким образом, работа всех сил, действующих на систему материальных точек, равна приращению кинетической энергии этой системы.

Полученное выражение выражает теорему об изменении кинетической энергии: приращение кинетической энергии системы материальных точек равно сумме работ всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.

Важность полученного результата заключается в том, что приращение кинетической энергии системы определяется работой не только внешних сил (сил со стороны тел, не включенных в рассматриваемую систему), но и работой внутренних сил, т.е. силами взаимодействия между материальными точками системы.

Как мы увидим в дальнейшем, внутренние силы не могут изменить импульс всей системы материальных точек.

Потенциальная энергия частицы во внешнем силовом поле.

Введем понятие силового поля.

Если в каждой точке данного пространства известны величина направление силы, действующей на рассматриваемую частицу, то говорят, что в этом пространстве задано поле сил или силовое поле.

Мы ограничимся рассмотрением полей сил, не зависящих от времени, т.е. стационарных полей.

Например, в каждой точке пространства данной аудитории на частицу массой m действует сила гравитации со стороны Земли, равная mg и направленная к центру Земли. Можно сказать, что в данной аудитории действует гравитационное поле сил.

Другой пример: при движении материальной точки по поверхности стола на нее со стороны поверхности действует сила трения, равная μN и направленная противоположно скорости ее движения. Говорят, что на поверхности стола действует поле сил трения.

Вводя понятие работы, мы говорим, что действие силы на каком-либо участке характеризуется работой, т.е. сила совершает работу на данном участке. Например, при движении тела из точки 1 в точку 2 по поверхности стола силы трения будут совершать работу. Очевидно, что работа сил трения будет зависеть от того, по какому пути будет двигаться тело из точки 1 в точку 2. Чем длиннее путь, пройденный телом, тем больше работа сил трения, хотя при этом отправная и конечные точки пути одни и те же.

Однако, можно выделить класс сил, которые обладают замечательным свойством – работа, совершаемая силой при перемещении частицы из точки 1 в точку 2, не зависит от формы пути, по которому частица перемещается из т.1 в т.2 ( рис. 13.1).

Это означает, что ,

где - работа при перемещении частицы из 1 в 2 по траектории 1-а-2;

- работа при перемещении частицы из 1 в 2 по траектории 1-b-2.

Т

Рис.13.1. Работа консервативных сил

не зависит от формы траектории, по

которой частица перемещается из т.1 в т.2.

акие силы называются консервативными. Если такое свойство сохраняется и для силовых полей, меняющихся со временем (не стационарных полей), то такие силы называются потенциальными. Консервативные силы – это частный случай потенциальных сил.

Изменение направления движения частицы на противоположное вызывает изменение знака работы консервативной силы, так как меняет свой знак. Поэтому, при перемещении частицы по любому замкнутому контуру L, например, 1-а-2-b-1, работа консервативной силы тождественно равна 0. Это обстоятельство позволяет записать условие консервативности сил в следующей математической форме:

. (13.4)

Кружок на знаке интеграла означает суммирование по замкнутому контуру. Тождество (13.4) является необходимым условием консервативности сил F_кон. Условие (13.4) не может быть достаточным условием консервативности сил данного поля. Для этого нужно доказать, что это условие выполняется для любого замкнутого контура. Как это сделать, мы узнаем позже, когда познакомимся с понятием ротора векторной функции.

К неконсервативным силам относятся диссипативные (силы трения) и гироскопические силы, с которыми мы познакомимся попозже.

Введем понятие потенциальной энергии. Допустим, что на частицу в пространстве действуют консервативные силы. В этом случае говорят, что задано потенциальное поле сил. Из определения консервативных сил ясно, что работа, совершаемая силами потенциального поля над частицей, зависит только от взаимного расположения начальной 1 и конечной 2 точек пути. Это означает, что работу в этом случае можно выразить в виде:

, (13.5)

где - некоторые значения функции состояния частицы, зависящие только от ее координат. Эту функцию и называют потенциальной энергией.

Из соотношения (13.5) следует, что работа сил потенциального поля равна убыли потенциальной энергии частицы:

. (13.6)

Выражение (13.5) позволяет найти зависимость потенциальной энергии частиц от координат только с точностью до постоянного слагаемого С, не влияющего величину разности . Поэтому в каждой конкретной задаче для получения однозначной зависимости U_пот от координат выбирают точку, для которой потенциальную энергию частицы (или системы) условно считают равной нулю.

Используя выражение (13.5), можно дать определение потенциальной энергии. Потенциальная энергия системы в произвольном состоянии равна работе, которую должны совершить потенциальные силы при переводе системы из этого состояния в состояние, где U_п2 равна нулю.

В качестве примера рассмотрим однородное силовое поле и поле центральных сил.

а) Однородное поле.

Если во всех точках рассматриваемого пространства силы поля равны и по величине и по направлению, то такое поле называется однородным.

Работа, совершаемая постоянной силой F, равна (11.4):

.

Очевидно, что эта работа не зависит от формы траектории, а зависит только от начального и конечного положения точек движения r₁ и r₂. Следовательно, однородное силовое поле потенциально.

Например, гравитационное поле вблизи поверхности Земли в пределах небольшой области (r<<R_Земли) можно считать однородным: F=mg= const. Тогда работа сил тяжести будет равна: А = mg(r₂ – r₁) = mgr = mgrcos(g,r) = mg(h₂ – h₁) = –U_пот.

Итак, работа сил тяжести будет равна: А = –(U_кон – U_нач).

Следовательно, потенциальная энергия в однородном поле сил тяжести равна:

U(h) = mgh + C. (13.8)

Константу С удобнее всего выбрать равной нулю. Это означает, что на высоте h равной нулю потенциальная энергия U(0) будет считаться тоже равной нулю. Начало отсчета высоты h выбирается произвольно из соображений удобства решения задачи. Таким образом, потенциальная энергия материальной точки, поднятой на высоту h, возрастает на величину mgh.

б) Поле центральных сил

Аналогичным образом вычисляется потенциальная энергия для различных потенциальных полей: сначала доказывается, что данное поле сил потенциально и затем вычисляется работа этих сил при переходе системы из начального положения в конечное, причем по наиболее удобной траектории. Подобным образом получают выражение для потенциальной энергии данного поля.

Рассмотрим поле центральных сил. Если все силы данного поля направлены к одной точке (или от нее), а их величина зависит только от расстояния до этой точки, называемой силовым центром, то такое поле называется центральным полем сил. Это определение можно записать в математической форме:

F = f(r) e_r, (13.9)

где e_r – единичный вектор, задающий направление радиус-вектора точки поля относительно силового центра, т.е. r = re_r. Элементарная работа такой силы будет равна А = f(r)e_rdr. С учетом соотношения (2.6) произведение e_rdr равно: . Следовательно, dА = f(r)×dr. Работа этой силы на произвольном пути от точки 1 до точки 2 равна:

. (13.10)

Полученное выражение зависит только от вида функции f(r) и от значений r₁ и r₂, и никак не зависит от формы траектории движения и поэтому является потенциальным.

Рассмотрим гравитационное взаимодействие двух материальных точек М и т. По закону всемирного тяготения сила взаимодействия по модулю равна: . Если рассматривать силу, действующую на точку т, то можно сказать, что гравитационное силовое поле, создаваемое материальной точкой М, действует на точку т с силой F.

Другими словами, материальная точка М создает поле центральных сил с силовым центром в точке М.

Поместим начало отсчета в точку М.

Тогда в векторном виде сила гравитации, действующая на точку т, примет следующий вид:

. (13.11)

При перемещении точки т из r₁ в точку r₂ силы гравитации совершат работу:

. (13.12)

Сравнивая полученное выражение с (13.6), получим, что потенциальная энергия частицы т в гравитационном поле точки М равна:

. (13.13)

При большом удалении точек друг от друга ( ), сила их гравитационного взаимодействия стремится к нулю, и, следовательно, должна стремиться к нулю и потенциальная энергия. Поэтому в данном случае константу С можно положить равной нулю.

Выражение (13.13) является точным для расчета потенциальной энергии частицы т в гравитационном поле точки М. Выражение (13.8) является приближенным расчетным соотношением для вычисления потенциальной энергии частицы в гравитационном поле. Покажем это.

Можно доказать, что тело сферической формы массой М создает вне себя точно такое же гравитационное поле, как материальная точка такой же массы, помещенная в центр шара. Следовательно, при поднятии тела массой т с поверхности, например, Земли на высоту h ее потенциальная энергия меняется на величину

. (13.14)

Если h<<R_Земли, то это выражение переходит в (13.8).

Таким образом, если все перемещения происходят вблизи поверхности Земли, то можно пользоваться выражением (13.8), если нет – то надо использовать более точное выражение (13.14).

Если в силовом потенциальном поле находится система невзаимодействующих между собою материальных точек, то потенциальная энергия такой системы в этом силовом поле будет равна сумме потенциальных энергий каждой точки в отдельности: U_сист = U_i

Если частицы системы взаимодействуют между собой, то для того чтобы найти потенциальную энергию всей системы, нужно к потенциальной энергии частиц во внешнем силовом поле добавить потенциальную энергию их взаимодействия.