22. Вибіркове середнє. Вибіркова дисперсія. Властивості вибіркового середнього та вибіркової дисперсії

Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения признака выборки различны, то

если же все значения имеют частоты n1, n2,…,nk, то

Выборочная средняя является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средней.

Замечание: Если выборка представлена интервальным вариационным рядом, то за xi принимают середины частичных интервалов.

Властивості вибіркового середнього

Нехай — функція вибіркового розподілу. Тоді для будь-якого фіксованого функція є (невипадковою) функцією дискретного розподілу.

Вибіркове середнє — незміщена оцінка теоретичного середнього значення: .

Вибіркове середнє — строго конзистентна оцінка теоретичного середнього: майже напевне при .

Вибіркове середнє — асимтотично нормальна оцінка. Нехай дисперсія випадкових величин скінченна і ненульова, тобто . Тоді за розподілом при , де — нормальний розподіл з середнім і дисперсією .

Вибіркове середнє з нормальної вибірки — ефективна оцінка її середнього.

Выборочная дисперсия.

Для того, чтобы наблюдать рассеяние количественного признака значений выборки вокруг своего среднего значения , вводят сводную характеристику- выборочную дисперсию.

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения .

Если все значения признака выборки различны, то

если же все значения имеют частоты n1, n2,…,nk, то

Вибірковою дисперсією s² називається половина середнього квадрата відхилень значень вибірки:[1]

.

Вибірковою дисперсією S² називається половина середнього квадрата різниць значень вибірки:[2]

Теореми

Дисперсія s² — це різниця середнього значення квадратів елементів вибірки і квадрата вибіркового середнього:[3]

.

Дисперсія S² є різниця середнього значення квадратів елементів вибірки і середнього значення добутку двох її елементів:[3]

.

Вибіркові дисперсії мають такий вигляд:[3]

;

.

Твердження

Вибіркові дисперсії s², S² — це числа. Згідно з теоремою ймовірностей про сталі величини, математичні сподівання цих величин виглядають так:[4]

.

Вибіркову дисперсію S² не можна вважати незміщеною оцінкою генеральної дисперсії σ²

Властивості

Дисперсія s² є оцінка генеральної дисперсії .

Дисперсія S² — це оцінка генеральної дисперсії

23. Вибірковий коефіцієнт кореляції. Властивості вибіркового коефіцієнту кореляції

Кореляція є залежністю двох випадкових величин. При цьому, зміна однієї або кількох цих величин призводить до систематичної зміни іншої або інших величин. Математичною мірою кореляції двох випадкових величин слугує коефіцієнт кореляції.

Кореляція може бути позитивною та негативною (можлива також ситуація відсутності статистичного зв'язку - наприклад, для незалежних випадкових величин). Від'ємна кореляція – кореляція, при якій збільшення однієї змінної пов'язане зі зменшенням іншої, при цьому коефіцієнт кореляції від'ємний. Додатна кореляція – кореляція, при якій збільшення однієї змінної пов'язане зі збільшенням іншої, при цьому коефіцієнт кореляції додатній.

Коэффициентом корреляции (KK) двух случайных величин x₁, x₂ называется.

Свойства KK:

1. r - величина безразмерная.

2. |r|£1, в силу

3. Модуль коэффициента корреляции равен единице тогда и только тогда, когда x ₁, x ₂ связаны линейной функциональной зависимостью, т.е. |r|=1 Û x₂ = a*x₁+b.

4. если x₁, x₂ независимы, то r=0 (но не наоборот, так как r - мера линейной связи между двумя случайными величинами, может быть, что связь существенно нелинейная, r=0).

5. если x₁, x₂ подчиняются двумерному нормальному закону распределения, то понятия некоррелированности и независимости идентичны.

6. |r| не изменится, если x₁, x₂ в отдельности подвергнуть линейному преобразованию: т.е. если h₁= а₁x₁+b₁ , h₂ =a₂x₂+b₂, то |r(h₁,h₂)|=|r(x₁,x₂)|.

Выборочный коэффициент корреляции.

Пусть X и Y - случайные величины. Берем наблюдения (х₁,у₁), (х₂,у₂), …, (х_n,у_n) и оцениваем коэффициент корреляции r(x,y), r(x,y) - оценка r(x,y). Тогда .