6.Потребительское предпочтение…

Проанализируйте условия устойчивости в случае постоянного уровня инвестирования I_t=I₀. Рассмотрите поведение модели в предположении, что инвестирование растет с постоянным темпом роста.

7. Модель самуэльсона (Мультипликаторно-акселераторная)

В состав модели входит функция потребления

C_t=bY_t-1, 0<b<1,

где b – предельная склонность к потреблению;

функция инвестирования

I_t=I_t'+I_t",

включающая вынужденное инвестирование – I_t' и постоянное автономное инвестирование – I_t"=G. Вынужденное инвестирование зависит от изменений спроса на товары потребления в соответствии с принципом акселерации:

I_t'=k(C_t–C_t-1),

где k – коэффициент акселерации.

Условие равновесия модели:

Y_t=C_t+I_t.

Определите характер равновесия в зависимости от соотношения параметров b и k модели.

Y_t – b(1+k)Y_t-1+bkY_t-2 = G

Частное решение:

Y_t = const = G / (1-b)

Однородное уравнение:

Y_t – b(1+k)Y_t-1+bkY_t-2 = 0

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

Условие действительности корней:

D = b²(1+k)² – 4bk > 0

Условие устойчивости

f(1) > 0 1 – b(1+k) + bk = 1- b > 0

f (-1) > 0 1+ b(1+k) + bk > 0

|l_i| < 1 => |l₁l₂| <1

l₁l₂ = bk <1

b <1/k

8.Модель муза.

Рассмотрим изолированный рынок с производственным лагом. Текущий спрос на предметы потребления C_­t зависит от текущей цены p_t, в то время как текущий уровень производства P_t благодаря наличию производственного лага зависит от цены p_t^e, которая, как ожидалось, должна была установиться в текущем периоде. Товары не являются полностью потребляемыми в каждом периоде, т.е. могут существовать их остатки или запасы I_t, которые образуются из спекулятивных соображений получения дохода от выгодного изменения цен. Будем считать, что расходы, связанные с образованием запасов не существенны. Модель имеет вид:

где , β,  – положительные константы, x_t – представляет собой влияние экзогенных факторов на спрос (погода, демографические факторы и пр.).

Предположим, что имеют место рациональные ожидания, т.е. прогноз совершенный и p_t^e=p_t в любой момент времени.

Опишите характер поведения цены в рамках этой модели.

-βp_t+α(p_t+1-p_t)=γp_t+x_t+α(p_t-p_t-1)

-βp_t+αp_t+1-αp_t=γp_t+x_t+αp_t- α p_t-1

αp_t+1-αp_t-βp_t- γp_t - αp_t +α p_t-1-x_t =0

αp_t+1-(2α+β+ γ)p_t +α p_t-1-x_t =0

Характеристическое уравнение:

D=(2α+β+ γ)²-4*α²

, которое очевидно положительное. Отсюда получим два действительных корня, которые оба будут положительны, поскольку последовательность знаков в хар.ур. +,-,+. Можно также показать, что эти корни будут обратными. Фактически произведение корней равно постоянному члену, откуда λ₁λ₂=1 и λ₁=1/λ₂.

Отметим, что поскольку сумма корней равна коэффициенту при λ, взятому со знаком минус, они не могут быть вместе равны единице. Из этого следует, что траектория будет соответствовать нестабильному поведению.

Корни действительны.

Частное решение:

p=const

αp-(2α+β+ γ)p +α p-x_t =0

p= x_t/( γ- β)

9. Модель самуєльсона с налогообложением(1)

Предположим, что потребление – это лаговая функция чистого дохода, т.е.

C_t = bY^d_t-1, 0<b<1,

где Y^d_t = Y_t – T_t – чистый доход; b – предельная склонность к потреблению;

T_t = Y_t – налоги,  – фиксированная ставка налога (0<<1).

Функция инвестирования

I_t=I_t'+I_t",

включает вынужденное инвестирование – I_t' и постоянное автономное инвестирование – I_t"=G. Вынужденное инвестирование зависит от изменений спроса на товары потребления в соответствии с принципом акселерации:

I_t'=k(C_t–C_t-1),

где k – коэффициент акселерации.

Условие равновесия модели:

Y_t=C_t+I_t.

Определите характер равновесия в зависимости от соотношения параметров b, k и  модели.

Предположим, что I_t" – государственные расходы, и они составляют все налоговые поступления плюс некоторую фиксированную величину:

I_t" = T_t+G.

Каким образом это скажется на условиях устойчивости?

Подстановка дает следующее разностное уравнение:

y_t+y_t-1(τ-1)(b+k)+k(1-τ)y_t-2=G

Частное решение находится через Y=const

Y=G/1+(τ-1)(b+k)+ k(1-τ)

Это частное решение определяет состояние равновесия национального дохода.

Характерестическое уравнение имеет вид:

λ²+(τ-1)(b+k) λ+ k(1-τ)=0

Система имеем простое равновесие, так как Δ не равен 0.

Рассчитаем дискриминант:

D=(τ-1)²(b+k)²-4k(1-τ)

D=(τ-1)²(b+k)²+4k(τ-1)

D=(τ-1)(b+k)²+4k

Так как (τ-1) (b+k) <0 из-за того, что τ всегда меньше единицы, то имеем комплексно-сопряженные корни.

Λ_1,2

Так как α<0, то имеем устойчивый узел.

Предположим, что I_t" – государственные расходы, и они составляют все налоговые поступления плюс некоторую фиксированную величину:

I_t" = T_t+G.

Тогда конечно-разностное уравнение приобретает вид:

(1- y_t+b(k +kb y_t-2=G

Рассчитаем дискриминант:

D=b²(kτ-1-k-τ)²-4*(1-τ) kb

D>0