3. Проекция на ось суммы векторов, произведения вектора и числа и их свойства.

Прежде всего, определим проекцию вектора a = на произвольную ось u.

Обозначим буквами A' и B' основания перпендикуляров, опущенных на ось u из точек A и B соответственно.

Проекцией вектора a= на ось u называется величина A'B' направленного отрезка A'B' оси u.

Проекция вектора a на ось u обозначается символом пр_u a.

Угол наклона вектора а = к оси u может быть определен как угол ϕ между двумя выходящими из произвольной точки M лучами, один из которых имеет направление, совпадающее с направлением вектора a = , а другой — направление, совпадающее с направлением оси u.

Проекция вектора a на ось u равна длине вектора a, умноженной на косинус ϕ угла наклона вектора a

к оси u.

Основные свойства проекции вектора на ось заключаются в том, что линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов (на произвольную ось).

При сложении двух векторов d₁ и d₂ их проекции на произвольную ось u складываются. При умножении вектора d₁ на любое число α проекция этого вектора на произвольную ось u также умножается на число α.

4. Разложение вектора по базису. Координатное представление.

Три линейно независимых вектора a, b и c образуют в пространстве базис, если любой вектор d может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов a, b и c, т. е. если для любого вектора d найдутся такие вещественные числа λ, μ и ν, что справедливо равенство:

d = λa + μb + νc.

Два лежащих в плоскости π линейно независимых вектора a и b образуют на этой плоскости базис, если любой лежащий в плоскости π вектор c может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов a и b, т. е. если для любого лежащего в плоскости π вектора c найдутся такие вещественные числа λ, и μ, что справедливо равенство:

c = λa + μb.

Справедливы следующие фундаментальные утверждения:

1. любая тройка некомпланарных векторов a, b и c образует базис в пространстве;

2. любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарных векторов a и b образует базис на этой плоскости.

Принято называть равенство d = λa + μb + νc разложением вектора d пo базису a, b, c, а числа λ, μ и ν — координатами вектора d относительно базиса a, Ь, c.

Аффинные координаты в пространстве определяются заданием базиса a, b, c и некоторой точки O, называемой началом координат. Аффинными координатами любой точки M называются координаты вектора OM (относительно базиса a, b, c).

Так как каждый вектор OM может быть, и притом единственным способом, разложен по базису a, b, c, то каждой точке пространства M однозначно соответствует тройка аффинных координат λ, μ, ν.

5. Координаты вектора и точки в декартовой системе координат.

Декартова прямоугольная система координат является частным случаем аффинной системы.

В случае декартовой прямоугольной системы базисные векторы принято обозначать не буквами a, b, c, а буквами i, j, k.

Итак, каждый из векторов i, j, k имеет длину, равную единице, причем эти три вектора взаимно-ортогональны (обычно направления векторов i, j, k берут совпадающими с направлениями декартовых осей Oх, Oy и Oz соответственно).

Если скалярное произведение двух элементов пространства равно нулю, то они называются ортогональными друг другу.

Каждый вектор d может быть разложен единственным способом по декартову прямоугольному базису i, j, k, т. е. для каждого вектора d найдется единственная тройка чисел X, Y и Z такая, что справедливо равенство:

d = Xi + Yj + Zk.

Числа X, Y, Z называются декартовыми прямоугольными координатами вектора d.

Если вектор d имеет декартовы прямоугольные координаты X, У, Z, то мы будем использовать следующую символику: d={X, Y, Z}.

Декартовы прямоугольные координаты X, Y и Z вектора d равны проекциям этого вектора на оси Oх, Oу

и Oz соответственно.

Возьмем произвольную точку М на прямой a. Декартовой координатой x точки M будем называть величину направленного отрезка .