Интегральная и дифференциальная формулировка критерия потенциальности.

Дифференциальная формулировка потенциальности поля. Независимость работы от пути при перемещении заряда в электростатическом поле выражается равенством: точки L1 b L2 различные пути между точками А и В.

Напряженность как градиент потенциала различают две характеристики электростатического поля: силовую (напряженность) и энергетическую (потенциал).

Напряженность и потенциал - различные характеристики одной и той же точки поля; следовательно, между ними должна существовать связь.

Рассматривая две точки с координатами (x, y, z) и (x+dx, y, z), между которыми перемещается заряд, можно сделать вывод, что напряженность как градиент потенциала имеет формулу:

Величина, характеризующая быстроту изменения потенциала в направлении силовой линии, называется градиентом потенциала:

Отсюда следует, что вектор напряженности Е численно равен градиенту потенциала и направлен в сторону убывания потенциала. Связь между напряженностью и потенциалом позволяет по известной напряженности поля найти разность потенциалов между двумя произвольными точками этого поля.

Уравнения Пуассона и Лапласа являются основными дифференциальными уравнениями электростатики. Они вытекают из теоремы Гаусса в дифференциальной форме. Действительно, подставляя в уравнение

вместо величин Е_х; Е_у; Е_z их выражения через потенциал: получаем уравнение

Это дифференциальное уравнение носит название уравнения Пуассона. Интеграл

является решением уравнения Пуассона для случая, когда заряды распределены в конечной области пространства. Если в рассматриваемой области пространства отсутствуют объемные

электрические заряды, то уравнение Пуассона получает вид и называется в этом частном случае уравнением Лапласа. Отметим, что в цилиндрической и сферической системах координат уравнение Пуассона и Лапласа имеют другую форму записи. Поэтому данные уравнения часто записывают в виде, не зависящем от системы координат:

U = -r/e; U = 0.

Оператор обозначают   и называют оператором Лапласа или лапласианом. При интегрировании уравнения Лапласа (или Пуассона) в решение входят постоянные интегрирования. Их определяют из граничных условий.

Билет 6. Постоянное электрическое поле при наличии проводников. Электрическая ёмкость уединённого проводника.

Проводниками называются материальные тела, при внесении которых в электрическое поле в них возникает движение зарядов - электрический ток. Закон, связывающий силу тока, текущего по проводнику с разностью потенциалов (напряжением на его концах), был открыт экспериментально Г. С. Омом (1787-1854) в 1827г. и имеет вид , (8.1)

Где R-сопротивление проводника. Закон Ома в дифференциальной форме получается в результате записи соотношения (8.1) для плотности тока   .

Рассмотрим бесконечно малый элемент проводника цилиндрической формы длины  , с сечением  , на концах которого приложена разность потенциалов  .

Пусть   – удельная электрическая проводимость вещества, которая является величиной, обратной удельному электрическому сопротивлению. Тогда выражение для   можно записать в виде:

  (8.2) (8.3) Где индекс   означает, что берется составляющая вдоль элемента проводника. Закон Ома для этого элемента записывается так:

.Полученное соотношение в векторной форме – и есть дифференциальная формулировка закона Ома.  

Будем рассматривать уединенный проводник, т. е. проводник, значительно удаленный от других проводников, тел и зарядов. Его потенциал, как известно, прямо пропорционален заряду проводника. Известно, что разные проводники, будучи при этом одинаково заряженными, имеют различные потенциалы. Поэтому для уединенного проводника можно записать:    Величину   (1)  С - Электроёмкость. - потонциал. называют электроемкостью (или просто емкостью) уединенного проводника. Емкость уединенного проводника задается зарядом, сообщение которого проводнику изменяет его потенциал на единицу.  Емкость уединенного проводника зависит от его размеров и формы, но не зависит от материала, формы и размеров полостей внутри проводника, а также его агрегатного состояния. Причиной этому есть то, что избыточные заряды распределяются на внешней поверхности проводника. Емкость также не зависит ни от заряда проводника, ни от его потенциала.  Единица электроемкости — фарад (Ф): 1 Ф — емкость такого уединенного проводника, у которого потенциал изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл.  Согласно формуле потенциала точечного заряда, потенциал уединенного шара радиуса R, который находится в однородной среде с диэлектрической проницаемостью ε, равен    Применяя формулу (1), получим, что емкость шара   (2)  Из этого следует, что емкостью 1 Ф обладал бы уединенный шар, находящийся в вакууме и имеющий радиус R=C/(4πε₀)≈9•10⁶ км, что примерно в 1400 раз больше радиуса Земли (электроемкость Земли С≈0,7 мФ). Следовательно, фарад — довольно большая величина, поэтому на практике применяются дольные единицы - миллифарад (мФ), микрофарад (мкФ), нанофарад (нФ), пикофарад (пФ). Из формулы (2) следует также, что единица электрической постоянной ε₀ — фарад на метр (Ф/м).

Билет 7. Силы в электростатическом поле, действующие на заряд, на диполь.

Все силы, возникающие в электростатическом поле, являются в конечном счёте силами, действующими на заряд. Сила действующая на точечный заряд. Сила, действующая на непрерывно распределённый заряд. Объёмная плотность сил Сила, действующая на диполь. Она равна сумме сил, приложенных к заряду диполя. (1);

В однородном поле сила, действующая на диполь, равна нулю, поскольку к зарядам диполя приложены противоположно направленные и равные по модулю силы.

Момент сил, действующих на диполь. Силы, приложенные к зарядам диполя, составляют пару сил с моментом

Объёмные силы, действующие на диэлектрик. Сила, приложенная к элементу объёма dV диэлектрика, равна сумме сил, действующих на элементарные диполи внутри этого объёма. Поэтому (1) принимает вид где означает, что суммирование проводится по всем элементарным диполям в объёме / ; Эта формула справедлива как для абсолютно жестких диэлектриков, так и для сжимаемых диэлектриков при условии, что их поляризованность линейно зависит от плотности массы или, иначе говоря, при условии, что дипольные моменты индивидуальных молекул и атомов при сжатии и растяжении элемента объёма не изменяются, а дипольные моменты, обусловленные смещением ионов, либо отсутствуют, либо их вклад в поляризованность может считаться несущественным. Это условие выполняются у газов и в большинстве случаев у жидкостей.