Второй замечательный предел.
Рассмотрим
переменную величину 
,
где n =1,2,3… .
Можно доказать, что
возрастает
и 
<
<
,
то есть эта последовательность имеет
конечный предел. Этот предел
обозначается ‘e’.
Определение. Предел переменной величины при n→∞ называется числом е
.
(7)
Это число е = 2,7182818284…
Мы
рассмотрели последовательность
, n=1,2,3…
При непрерывном изменении переменной х и
если х→∞,
то 
и 
.
То есть получаем, что
.
(8)
Этот предел называется вторым замечательным пределом.
Второй замечательный предел можно записать в виде
.
(9)
Число е – иррациональное число, оно играет очень важную роль в математическом анализе.
Мы рассматривали логарифмическую функцию у=logax, а ≠ 1, а > 0, а – основание логарифма. Если основанием логарифма является е, то logex = ln x и называется натуральным логарифмом. Функция у = ех называется экспонентой.
Примеры:
1. 
2.
3. 
4. 
Определение предела. Число b – предел функции f(x) при x стремящемся к a, если для каждого положительного числа можно указать такое положительной число , что для всех x, отличных от a и удовлетворяющих неравенству |x-a|<, имеет место неравенство |f(x)-b|<
Обозначение предела. Если b есть предел функции f(x) при x стремящемся к a, то записывают это так:
Определение непрерывной функции. Функция f(x) непрерывна в точке a, если
Вычисление пределов функций основано на применении следующих основных теорем:
ТЕОРЕМА 1. Предел суммы двух функций при x стремящемся к a равен сумме пределов этих функций , то есть
ТЕОРЕМА 2. Предел произведения двух функций при x стремящемся к a равен произведению пределов этих функций, то есть
ТЕОРЕМА 3. Предел частного двух функций при x стремящемся к a равен частному пределов, если предел знаменателя отличен от нуля, то есть
и равен плюс (минус) бесконечности, если предел знаменателя 0, а предел числителя конечен и отличен от нуля.