21. Асимптоты.

Определение 1. Асимптотой графика функции называется прямая, к которой неограниченно приближается график функции при или .

Различают вертикальные и наклонные асимптоты (в частности, горизонтальные).

Прямая х = а называется вертикальной асимптотой, если хотя бы один из односторонних пределов

f (а + 0), f (а – 0) равен бесконечности или не существует, то есть в точке х = а функция терпит разрыв второго рода.

Пример 24. Найти вертикальные асимптоты функции .

Решение. Знаменатель дроби равен нулю в точках х = – 1, х = +1. Значит функция в этих точках не определена. Классифицируем разрыв, вычислив односторонние пределы. Эту работу можно уменьшить, если учесть чётность функции:

у(– х) = у(х) (см. рис. 25). Исследуем только одну из точек разрыва, например,

х = – 1:

22.Первообразная. Неопределенный интеграл. Таблица интегралов.

23. Интегрирование подстановкой (замена переменной)

Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

Интегрирование выражений вида

Если m нечётное, m > 0, то удобнее сделать подстановку sin x = t.

Если n нечётное, n > 0, то удобнее сделать подстановку cos x = t.

Если n и m чётные, то удобнее сделать подстановку tg x = t.

Вычислить:

Пусть тогда и

24. Интегрирование по частям.

Формула интегрирования по частям и формула – это два взаимно обратных правила.

25. Интегрирование рациональных дробей

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется дробь P(x)/Q(x), числитель P(x) и знаменатель Q(x) которой – многочлены. Рациональные дроби бывают неправильные, если степень многочлена в её числителе не меньше степени многочлена в знаменателе, и правильные, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе.

У любой неправильной дроби можно выделить её целую часть. Для этого следует по правилу деления многочленов разделить числитель на знаменатель. Поэтому любую неправильную дробь можно представить в виде суммы её целой части и некоторой правильной дроби.

Например, неправильную дробь

можно представить в виде

Таким образом, если необходимо проинтегрировать неправильную дробь, то, представив её в виде суммы многочлена и правильной дроби, с помощью метода разложения сведём решение к интегрированию правильной дроби.

Ограничимся интегрированием лишь правильных рациональных дробей, знаменателями которых являются многочлены первой и второй степени. В общем виде интегралы от таких дробей записываются следующим образом:

(18)

(19)

При интегрировании дробей можно использовать следующую формулу, получаемую с помощью метода замены переменной:

(20)

Пример.

26. Интегрирование иррациональностей с дробно-линейными функциями.

Пусть   - рациональная функция своих аргументов   и  , т. е. над    и   совершаются только арифметические операции, чтобы получить  . Например,

 - рациональная функция, а

 - не является рациональной.

I. В ы ч и с л и т ь  , где   - постоянные числа,  -натуральное число,  ,   - рациональная функция.

Функцию вида   называют дробно-линейной иррациональностью.

Покажем, что замена   рационализирует интеграл. В самом деле,  , откуда   - рациональная функция от  . Далее,

.

Поэтому

,

где   - рациональная функция по  , интегрировать которую мы умеем.

27. Из таблицы первообразных сразу заметим, что и ..