5. Бесконечно-малые числовые последовательности. Свойства (с доказательством).

Числовая последовательность называется бесконечно малой, если её предел равен нулю.

Свойства:

1. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную является бесконечно малой последовательностью.

2. Любая линейная комбинация бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

3. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность (следует из 2).

Доказательства в лекциях (0000 020.jpg) или учебник, страницы 45–46.

6. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса. Принцип компактности.

Последовательность x_n называется монотонной, если она является неубывающей (невозрастающей), то есть для любого n справедливо неравенство: x_n <= x_n+1 (x_n >= x_n+1).

Теорема Вейерштрасса – всякая возрастающая последовательность x_n имеет конечный предел, если она ограничена сверху, и бесконечный, если она не ограничена сверху.

lim x_n = sup{x_n}.

(То же верно и для убывающих последовательностей).

Доказательство:

Пусть x_n – возрастающая последовательность, ограниченная своим супремумом S (lim x_n = sup{x_n} = S).

Если найдётся такое ε, что в эпсилон-окрестности супремума S нет элементов последовательности x_n, то (S – ε/2) – число меньшее S, но большее, чем любое число последовательности x_n. Соответственно S – не супремум. Пришли к противоречию.

Принцип компактности.

Пусть дана последовательность x_n, и из некоторых её членов x_nk мы составим новую последовательность, причём n_k возрастает. Тогда сформированная последовательность будет подпоследовательностью исходной последовательности.

Теорема Больцано-Вейерштрасса: из всякой ограниченной последовательности x_n можно выделить подпоследовательность x_nk, сходящуюся к некоторому числу.

7. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.

Числовая последовательность x_n называется фундаментальной, если она удовлетворяет следующим условиям (условие Коши):

Для любого ε > 0 найдётся n₀ = n₀(ε), такое что |x_m - x_n| < ε; (любые n, m > n₀)

Если последовательность чисел фундаментальна (удовлетворяет критерию Коши), то она имеет предел, то есть существует конечное a, такое что x_n → a, n → inf

8. Предел функции. Определение предела по Коши и по Гейне. Односторонние пределы. Бесконечно-большие и бесконечно малые функции. Свойства бесконечно-малых функций с доказательствами.

Предел функции – величина, к которой стремится функция, при стремлении её аргумента к данной точке.

По Гейне:

Число a называется пределом функции f(x) в точке x₀, если для любой последовательности допустимых значений аргумента x_n, сходящейся к x₀, последовательность соответствующих значений функции сходится к a.

lim f(x) = a, x → x₀

По Коши:

Число a называется пределом функции f(x) в точке x₀, если для любого ε > 0 существует такое G=G(ε), что 0 < |x-x₀| < G.

|f(x)-a| < ε

Односторонние пределы.

Число a₁ называется пределом функции в точке x₀ слева, если для любого ε > 0 существует G=G( ε), такое что для всех x, принадлежащих числовому промежутку, выполняется: |f(x)-a₁| < ε.

lim f(x) = a₁, x → x_0-0

Число a₂ называется пределом функции в точке x₀ справа, если для любых x принадлежащих X, таких что x принадлежит (x₀, x₀+G), выполняется |f(x)-a₂| < ε.

lim f(x) = a₁, x → x₀₊₀

Функция называется бесконечно большой, если её предел равен бесконечности, и бесконечно малой, если её предел равен нулю.

Свойства бесконечно малых функций:

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций – бесконечно малая функция.

2. Произведение бесконечно малой функции на бесконечно малую функцию – бесконечно малая функция.

3. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию с пределом, отличным от нуля, есть бесконечно малая функция.

Доказательства: 0000 035.jpg, 0000 036.jpg