2. Краевые условия. Классификация задач оптимального управления.

Граничные или краевые условия – это совокупность начального и конечного состояний системы x(t₀), x(t_к).

Краевые условия могут иметь различный характер.

а) Краевые условия с закрепленными (фиксированными) концами, когда x(t₀), x(t_к) определяются соответствующими точками, фиксированными в пространстве состояния системы.

б) Краевые условия с подвижными концами (или одним подвижным концом) в этом случае векторы состояния x(t₀), x(t_к) или один из них ограничены некоторыми областями (линия, поверхность, гиперповерхность).

в) Краевые условия со свободным концом, здесь на вектор состояния x(t_к) никаких условий не накладывается.

А. По виду ограничений различают задачи оптимального управления

а) классического типа, когда ограничения задаются в виде равенства

б) неклассического типа, когда ограничения задаются в виде неравенств

Б. По виду краевых условий различают задачи

а) с фиксированными закрепленными) концами xt₀), xt_к) – точки в пространстве состояния.

б) с подвижным правым концом  xt_к) состоит из более, чем одной точки), с подвижным левым концом  xt₀) состоит из более, чем одной точки), с подвижными концами.

в) со свободным правым концом на xt_к) никаких ограничений не накладывается).

В. По времени начала и окончания оптимального процесса различают задачи

а) с фиксированным временем, когда начальный t₀ и конечный t_к моменты фиксированы заданы).

б) с нефиксированным временем, когда один из моментов времени t₀ или t_к не фиксирован.

Г. По критерию оптимальности различают

а) задачу Больца, критерий оптимальности имеет вид

б) задачу Лагранжа, при этом критерий имеет вид

в) задачу Майера, при этом критерий имеет вид

Задача Майера, в частном случае, когда функционал имеет вид называется задачей терминального управления, когда – задачей максимального оптимального) быстродействия.

Задачи Больца, Лагранжа, Майера эквивалентны в том смысле, что путем преобразования переменных можно от одной задачи перейти к другой.

3. Метод классического вариационного исчисления /метод множителей Лагранжа/.

Рис. 1 Рис. 2

В 1744 г. вышел труд Эйлера «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума и минимума или решения изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле», а в 1759 г. появилась работа Лагранжа и с ней новые методы исследования, которые составили новый раздел математики, названный Эйлером вариационным исчислением.

Понятия вариационного исчисления. Переменная величина J[x(t)] называется функционалом, зависящим от функции x(t), если каждой функции x(t) (из некоторого класса функций) соответствует число J. Аналогично определяются функционалы, зависящие от нескольких функций.

Функционал J[x(t)] достигает на x⁰(t) минимума, если его значение на любой близкой к x⁰(t) кривой не меньше, чем J[x⁰(t)], т. е.

Аналогично определяется кривая, на которой реализуется максимум. В этом случае для всех кривых, близких к кривой x⁰(t).

Уточним понятие близости кривых. Кривые x(t) и близки в смысле близости нулевого порядка, если модуль разности x(t) - мал. Кривые x(t) и близки в смысле близости 1-ого порядка, если модули разности x(t) - и малы. Кривые x(t) и близки в смысле близости k-ого порядка, если xⁱ(t) – i-я производная, ε – достаточно малое число. На рис. 2.1.2 изображены кривые, близкие в смысле близости нулевого порядка (координаты их близки, а направления касательных существенно различаются), а на рис. 2.1.3 приведены кривые, близкие в смысле близости 1-ого порядка.

Если функционал J[x(t)] достигает на кривой x⁰(t) минимума или максимума по отношению ко всем кривым, близким к x⁰(t) в смысле близости нулевого порядка, то такой минимум (или максимум) называется сильным.

Если функционал J[x(t)] достигает на кривой x⁰(t) минимума или максимума лишь по отношению к кривым x(t), близким к x⁰(t) в смысле близости 1-ого порядка, то такой минимум (или максимум) называется слабым. Очевидно, что если достигается сильный минимум (максимум), то достигается и слабый. Далее, если не оговорено противное, будет подразумеваться слабый минимум (максимум).

Разность функций - x(t) = δ x(t) называется вариацией (приращением) аргумента x(t) функционала J[x(t)].

Рис. 3 Рис. 4