5. Используя интегральную приближённую формулу Лапласа, выведите формулу для оценки отклонения относительной частоты события а от вероятности p наступления a в одном опыте.

В условиях схемы Бернулли с заданными значениями n и p для данного >0 оценим вероятность события , где k – число успехов в n опытах. Это неравенство эквивалентно |k-np|n, т.е. -n  k-np  n или np-n  k  np+n. Таким образом, речь идёт о получении оценки для вероятности события k₁  k  k₂, где k₁ = np-n, k₂ = np+n. Применяя интегральную приближённую формулу Лапласа, получим: P(  . С учётом нечётности функции Лапласа получаем приближённое равенство P(  2Ф .

Примечание: т.к. по условию n=1, то подставляем вместо n единицу и получаем окончательный ответ.

6. Пусть X – дискретная случайная величина, принимающая только неотрицательные значения и имеющая математическое ожидание m . Докажите, что P(X ≥ 4) ≤ m/4 .

m= (т.к. 1-ое слагаемое положительно, то если его убрать, будет меньше)  (заменим a на 4, будет только меньше)  = =4P(X4). Отсюда P(X ≥ 4) ≤ m/4 .

(Вместо 4 может быть любое число).

7. Докажите, что если X и Y – независимые дискретные случайные величины, принимающие конечное множество значений, то M(XY)=M(X)M(Y)

Математическим ожиданием дискретной случайной величины с законом распределения

x1	x2	…
p1	p2	…

называется число M(XY)= x₁p₁+ x₂p₂ + …

Если случайные величины X и Y независимы, то математическое ожидание их произведения равно произведению их математических ожиданий (теорема умножения математических ожиданий).

Доказательство: Возможные значения X обозначим x₁, x_2, …, возможные значения Y - y₁, y_2, … а p_ij=P(X=x_i, Y=y_j). Закон распределения величины XY будет выражаться соответствующей таблицей. M(XY)= Ввиду независимости величин X и Y имеем: P(X= x_i, Y=y_j)= P(X=x_i) P(Y=y_j). Обозначив P(X=x_i)=r_i, P(Y=y_j)=s_j, перепишем данное равенство в виде p_ij=r_is_j

Таким образом, M(XY)= = . Преобразуя полученное равенство, выводим: M(XY)=( )( ) = M(X)M(Y), что и требовалось доказать.

8. Докажите, что если X и Y – дискретные случайные величины, принимающие конечное множество значений, то M(X +Y) = M(X ) +M(Y).

Математическим ожиданием дискретной случайной величины с законом распределения

x1	x2	…
p1	p2	…

называется число M(XY)= x₁p₁+ x₂p₂ + …

Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: M(X+Y)= M(X)+M(Y).

Доказательство: Возможные значения X обозначим x₁, x_2, …, возможные значения Y - y₁, y_2, … а p_ij=P(X=x_i, Y=y_j). Закон распределения величины X+Y будет выражаться соответствующей таблицей. M(X+Y)= . Эту формулу можно переписать следующим образом: M(X+Y)= . Первую сумму правой части можно представить в виде . Выражение есть вероятность того, что наступит какое-либо из событий (X=x_i, Y=y₁), (X=x_i, Y=y₂), … Следовательно, это выражение равно P(X=x_i). Отсюда . Аналогично, . В итоге имеем: M(X+Y)= M(X)+M(Y), что и требовалось доказать.

9. Пусть Х – дискретная случайная величина, распределенная по биномиальному закону распределения с параметрами n и р. Докажите, что М(Х)=nр, D(Х)=nр(1-р).

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых может появиться событие А с вероятностью р, так что вероятность противоположного события Ā равна q=1-p. Рассмотрим сл. величину Х – число появления события А в n опытах. Представим Х в виде суммы индикаторов события А для каждого испытания: Х=Х₁+Х₂+…+Х_n. Теперь докажем, что М(Х_i)=р, D(Х_i)=np. Для этого рассмотрим закон распределения сл. величины, который имеет вид:

Х	0	1
Р	р	q

Очевидно, что М(Х)=р, случайная величина Х² имеет тот же закон распределения, поэтому D(Х)=М(Х²)-М²(Х)=р-р²=р(1-р)=рq. Таким образом, М(Х_i)=р, D(Х_i)=pq. По теореме сложения математических ожиданий М(Х)=М(Х₁)+..+М(Х_n)=nр. Поскольку случайные величины Х_i независимы, то дисперсии тоже складываются: D(Х)=D(Х₁)+…+D(Х_n)=npq=np(1-р).

10. Пусть X – дискретная случайная величина, распределенная по закону Пуассона с параметром λ. Докажите, что M(X ) = λ .

Закон Пуассона задается таблицей:

X	0	1	2	3	…
P	e-λ	λ e-λ			…

Отсюда имеем:

=

1. Таким образом, параметр λ, характеризующий данное пуассоновское распределение, есть не что иное как математическое ожидание величины X.

11. Пусть Х – дискретная случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром р. Докажите, что M (X) = .

Геометрический закон распределения связан с последовательностью испытаний Бернулли до 1-го успешного события А. Вероятность появления события А в одном испытании равна р, противоположного события q = 1-p. Закон распределения случайной величины Х – числа испытаний имеет вид:

х	1	2	…	n	…
Р	р	pq	…	pqn-1	…

Ряд, записанный в скобках, получается почленным дифференцированием геометрической прогрессии

.

Следовательно, .