4.5. Итерационные методы решения слау

Для применения этого метода приведем систему (4.1) к виду:

x1 = (a1,n+1- a 11 x 1- a 12 x 2-...- a 1n x n) / a 11+ x 1
x2 = (a2,n+1- a 21 x 1- a 22 x 2-...- a 2n x n) / a 22+ x 2	(4.20)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xn = (an,n+1- a n1 x 1- a n2 x 2-...- a nn x n) / a nn+ x n

Зададимся некоторым начальным приближением , , ... , и подставим его значения в правые части (4.20), и получим новое приближение , , ... , , которое подставим снова в систему (4.20) и т.д.

Таким образом организуется итерационный процесс, называемый методом простых итераций для систем алгебраических уравнений и являющийся обобщением метода простых итераций для алгебраических уравнений, рассмотренного в разделе 3:

	(4.21)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	,

где =(a_i,n+1- a _i1 x ₁- a _i2 x ₂-...- a _in x _n) / a _ii+ x _i , i=1,2,...,n ;

m - номер итерации.

Процесс (4.21) можно представить в несколько ином виде:

	(4.22)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	,

где =(a_i,n+1- a _i1 x ₁- a _i2 x ₂-...- a _in x _n) / a _ii , i=1,2,...,n ;

Значения или короче характеризуют разницу между m-м и (m+1)-м при­ближениями и образуют совокупность так называемых невязок (m+1)-го приближения.

Процесс (4.21) или (4.22) является бесконечным вычислительным процессом, каж­дая новая итерация которого дает все лучшее приближение к точному решению системы. В качестве критерия окончания обычно берется выполнение условия: “Все невязки по абсолютной величине меньше наперед заданного числа ”, харак­теризу­ющего точность решения системы, т.е.

< , i =1,2,...,n

(4.23)

Процесс (4.22) можно видоизменить, если использовать приближения к решениям, найденные в ходе текущей итерации, при проведении этой же итерации:

	=
	=
	=		(4.24)
. . . . .	.	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	=

Этот процесс называется методом Зейделя. Он приводит, как правило, к ускоре­нию сходимости по сравнению с процессом (4.22). Еще одним важным преиму­щес­твом метода Зейделя является меньший расход памяти ЭВМ, т.к. при его использо­ва­нии необходим один массив для хранения вектора-столбца приближений, а в методе простых итераций - два: по массиву на предыдущее и текущее приближения.

Для сходимости итерационных методов, т.е. для выполнения условия (4.23) при некотором конечном m, необходимо, чтобы значения диагональных элементов матри­цы СЛАУ были преобладающими по абсолютной величине по сравнению с другими элементами. Обеспечить это требование можно путем перестановки строк и (или) стол­б­­цов матрицы системы.

26