6.2. Методы прямоугольников

Данные методы относятся к простейшим из класса методов Ньютона-Котеса. В них подынтегральная функция  f(x) на каждом интервале разбиения заменяется полиномом нулевой степени, т.е. константой. Такая замена является неоднозначной, т.к. константу можно выбрать равной значению f(x) в любой точке данного интервала разбиения.

В любом случае значение частичного интеграла определяется как произведение длины интервала разбиения на выбранную константу, т.е. как площадь прямоугольника. В зависимости от способа выбора аппроксимирующей константы различают методы левых, средних или правых прямоугольников (рис.6.4).

Левые

Средние

Правые

Рис.6.4. Геометрическая интерпретация методов прямоугольников

Введем следующие обозначения: точку a на оси OX обозначим через x₀, точку b - через x_n, а точки разбиения промежутка [a,b] - через x₁, x₂,..., x_n-1. Предполагается, что длина интервала разбиения постоянна на всем [a,b]. Обозначим ее через h:

; x_i= x_i-1 + h, i =1,2,...,N.

Тогда в методе левых прямоугольников площадь каждого i-го прямоугольника

Si = h f(xi), i = 0,1,2,...,n-1,

(6.2)

а для всего промежутка [a,b]:

Аналогично, в методе правых прямоугольников

Si = h f(xi), i = 1,2,...,n; .

(6.3)

и в методе средних прямоугольников

Si = h ), i = 0,1,2,...,n-1; ,

(6.4)

где  , i = 0,1,2,...,n-1.

Приведенные формулы для S являются вычислительными формулами методов прямоугольников.

На рис.6.5. приведена блок-схема вычисления определенного интеграла методом средних прямоугольников.

Рис.6.5. Алгоритм метода средних прямоугольников

Алгоритмы для методов левых и правых прямоугольников отличаются от изображенного на рис.6.5 лишь одним блоком (он выделен жирной линией). Для метода левых прямоугольников здесь должно стоять X=A, для метода правых прямоугольников должно быть X=A+h.

Оценим точность этих методов. В методе средних прямоугольников для каждого интервала разбиения получаем c учетом выражения для S_i в (6.4):

.

(6.5)

Для оценки R_i разложим функцию f(x) в ряд Тейлора около средней точки

(6.6)

В малой окрестности точки  этот ряд с высокой точностью представляет функцию f (x) при небольшом количестве членов разложения. Поэтому, подставляя под знак интеграла вместо  f (x) ее тейлоровское разложение (6.6) и интегрируя его почленно, можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью. T.е. точное значение интеграла на интервале [x_i,x_i+1] рав­но:

Подставим пределы интегрирования:

или, так как :

Все члены полученного при интегрировании ряда, имеющие (x-x _i) в четной степени, обращаются в нуль. Поэтому получаем:

(6.7)

Сравнивая (6.5) и (6.7), можно записать выражение для погрешности R_i:

При малой величине шага интегрирования h основной вклад в значение R_i дает первое слагаемое, которое называется главным членом погрешности вычисления интеграла на интервале [x_i,x_i+1] и обозначается R_0i:

.

(6.8)

Главный член полной погрешности для интеграла на всем промежутке [a,b] определится как сумма:

.

(6.9)

Здесь использован тот же метод средних прямоугольников, но для функции .

Степень шага h, которой пропорциональна величина R₀, называется порядком метода интегрирования. Как видно из (6.9), метод средних прямоугольников имеет второй порядок.

Аналогично проведем оценку метода левых прямоугольников. Разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=x_i:

Интегрируя это разложение почленно на интервале [x_i,x_i+1] получаем

Здесь первое слагаемое есть приближенное значение интеграла, вычисленное по методу левых прямоугольников (см. формулу (6.2)) , а второе слагаемое является главным членом погрешности:

.

(6.10)

Тогда на всем промежутке интегрирования [a,b] главный член погрешности R₀ получается суммированием частичных погрешностей R_0i :

,

(6.11)

т.е. метод левых прямоугольников имеет первый порядок. Метод правых прямоугольников также имеет первый порядок.

Сравнение (6.9) и (6.11) показывает, что метод средних прямоугольников имеет меньшую погрешность по сравнению с методом левых или правых прямоугольников и за счет коэффициента в знаменателе (24 > 2), и за счет интеграла от производной, т.к. для большинства функций выполняется неравенство

.

Следовательно, использование метода средних прямоугольников является предпочтительным, но использовать его удается не всегда. Если значения  f(x) определяются из эксперимента в дискретном наборе узлов, то метод средних прямоугольников напрямую при­менить нельзя из-за отсутствия значений f(x) в срединных точках. В этой ситуации приходится применять либо какие-нибудь средства интерполяции, что приводит к дополнительным расходам машинного времени и памяти, либо другие методы численного интегрирования.