Изгиб………………………………………………………………………….18

• Определение нормальных напряжений при изгибе

• Определение касательных напряжений при изгибе

Часть 3. Детали машин

Часть 2. Сопротивление материалов

Раздел 1. Общие понятия

Сопротивление материалов – наука об инженерных методах расчета на прочность, жесткость и устойчивость элементов различных конструкций сооружений и машин.

Сопромат – раздел строительной механики, который представляет собой совокупность наук о способах расчета на прочность, жесткость и устойчивость.

Другие разделы строймеха: теория упругости, теория пластичности, статика и динамика сооружений, и др.

Деформация – изменение формы, размеров твёрдого тела.

Деформации связаны с перемещением точек, линий и плоскостей.

Сопромат рассматривает деформации только твердых тел. Аморфные тела и тела, имеющие большие деформации по сравнению со своими первоначальными размерами (например, резина), изучаются в других дисциплинах.

Классификация деформаций

1. - линейная – перемещение по прямой ℓ = ℓ_к – ℓ₀ (м, мм)

- угловая – перемещения, вызванные поворотом линий плоскостей (градус, радиан)

2. - абсолютная ( ℓ или φ )

- относительная – отношение абсолютной деформации к начальной длине (безразмерная величина), (°/м)

3. по видам:

- растяжение или сжатие

- сдвиг

- изгиб

- кручение

- сложные – одновременно несколько

- продольный изгиб – сжатие длинного тонкого стержня по его оси, потеря устойчивости

4. - упругая – деформация исчезает после удаления нагрузки

- остаточная (пластическая) – остается или частично остается после удаления нагрузки

- разрушение – хотя и подвид остаточной деформации, но удобнее классифицировать отдельно

Упругость – свойство тел восстанавливать свои первоначальные форму и размеры после удаления нагрузки.

Пластичность – свойство тел получать значительные остаточные деформации (изменять форму и размеры) не разрушаясь.

Прочность – способность конструкции воспринимать заданную нагрузку не разрушаясь, и без появления остаточных деформаций.

Жесткость – способность конструкции под воздействием заданной нагрузки сохранять свои размеры и форму в установленных пределах

Стержень или брус – тело, у которого один размер (длина) значительно превышает два других (поперечных) размера.

Пример: Прямолинейные стержни: валы, оси, балки, стойки, колонны.

Криволинейные стержни: грузоподъемный крюк, звенья цепи.

Пластина или оболочка – тело, имеющее весьма малую толщину по сравнению с другими размерами. Пример: Резервуары, навесы, крыши, стены.

Массив – все 3 размера одного порядка (например, фундамент здания).

Основные допущения:

1. материал конструкций однородный и непрерывный.

2. материал конструкций изотропный, т.е. обладает одинаковыми свойствами по всем направлениям. Пример: металл, камень, бетон.

Дерево, бумага – анизотропные

3. принцип начальных размеров – перемещения, возникающие в упругих телах под воздействием внешних сил, малы по сравнению с размерами тел.

4. принцип независимости действия сил – результат действия группы сил равен сумме результатов действия каждой силы в отдельности

5. принцип Сен-Венана: если в пределах некоторой области упругого тела приложена сила, то на расстоянии существенно превышающем размеры взятой области и напряжения и деформации практически одинаковы, т.е. независимо от конструкции узлов и, следовательно, независимо от способа передачи усилий на балку в зонах достаточно удаленных от места приложения силы напряжения и деформации одинаковы.

Внешние и внутренние силы

Если конструкция рассматривается изолировано от окружающих тел, то действие этих тел на конструкцию заменяют силами, которые называются внешними.

Внешние силы разделяются на объемные и поверхностные.

Объемные силы распределены по объему тела и приложены к каждой его частице: сила веса, сила магнитного притяжения, сила инерции.

Поверхностные силы – приложены к участкам тела. В зависимости от участка приложения поверхностные силы бывают:

- сосредоточенные, т.е. приложенные в точке

- распределенные а) по поверхности

б) по линии, длине.

При деформации расстояния между частицами тела изменяются. Возникают дополнительные силы взаимодействия – упругие силы, стремятся вернуть частицы в первоначальное положение. Эти дополнительные силы взаимодействия между частицами тела будем называть внутренними силами.

Внутренние силовые факторы Метод сечений

Для определения внутренних сил применяют метод сечений.

Внутренние силы возникающие в сечении бруса являются внешними по отношению к рассматриваемой части бруса.

П риведем эту систему сил к центру тяжести сечения. В результате получим главный вектор и главный момент. Выберем ось z так, чтобы она совпадала с продольной осью бруса, а x и y с главными центральными осями. Получим 3 силы и 3 момента, т. о. в общем случае, действие отброшенной части бруса на оставленную заменяется 3 силами и 3 моментами. Эти составляющие и называют внутренними силовыми факторами:

N – Нормальная сила

Q_x, Q_y – Поперечные силы

T (M_z) – Крутящий момент

M_x, M_y – Изгибающие моменты

Если нагрузка на рассматриваемую часть известна, то все 6 внутренних силовых факторов могут быть определены из уравнений равновесия, составленных для рассматриваемой части бруса.

В каждое уравнение войдут проекции на соответствующую ось всех внешних сил и только один из внутренних силовых факторов.

Уравнения равновесия для рассматриваемой части бруса:

Напряжение

Внутренние силы, являясь результатом взаимодействия частиц тела, непрерывно распределены по сечению. Интенсивность этих сил в разных точках сечения может быть различной. Прочность элементов конструкций оценивают не по значению внутренних силовых факторов, а по их интенсивности. Меру интенсивности внутренних сил называют напряжением.

Будем сужать площадку, на которой действуют внутренние силы S0

В пределе получим полное напряжение в точке. Напряжение – величина векторная.

На практике имеют дело с нормальной составляющей вектора полного напряжения –  (сигма) и касательной –  (тау).

Важен наклон сечения (Угол обычно считается от нормали к оси)

В международной системе единиц (СИ) за единицу напряжения принят паскаль (Па) Па = Н/м² 1 Мпа = 10³ кПа = 10⁶ Па = Н/мм²

Различают следующие виды напряжений:

Предельные – напряжения, при достижении которых появляются заметные пластические деформации, если материал пластичный или признаки хрупкого разрушения, если материал хрупкий.

Определяются при механических испытаниях материала. Зависят от материа-ла и вида деформации. Брать в справочниках, учебниках (_т , _0,2 , _пч , _в)

Расчетные – напряжения, возникающие в нагруженной конструкции. Зависят от нагрузок и размеров элемента конструкции. (, )

Допускаемые – наибольшие напряжения, при которых прочность и долговечность конструкции обеспечены.

Зависит от материала, степени ответственности элемента конструкции, точности расчетов и других факторов. (, )

Допускаемые напряжения составляют некоторую часть от предельных напряжений.  = _пред./n , где n – коэффициент запаса прочности.

Раздел 2 Растяжение и сжатие

Растяжением или сжатием – называют деформацию, вызываемую силами, действующими вдоль продольной оси стержня.

При работе бруса на растяжение или сжатие в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – продольная сила (представляющая собой равнодействующую внутренних нормальных сил, возникающих в поперечном сечении бруса).

Продольная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на его продольную ось всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения. N= Р_zi

При растяжении продольную силу принято считать положительной. Продольная сила считается положительной, если она направлена от сечения в сторону внешней нормали, т.е. по отношению к рассматриваемой части бруса она является растягивающей. В противном случае ей приписывают знак « - »

Если на брус действует несколько сил, то значения внутреннего силового фактора – продольной силы N в различных сечениях одного и того же бруса различны. Графики, показывающие, как изменяются внутренние силовые факторы вдоль оси бруса, называются эпюрами внутренних силовых факторов. При растяжении и сжатии – эпюра продольных сил. Эпюры строят для того, чтобы их использовать при расчете бруса на прочность, они дают возможность найти наибольшие значения внешних силовых факторов и положение сечений, в которых они возникают. Эти сечения для бруса постоянного поперечного сечения является опасными.

При центральном растяжении (сжатии) в поперечных сечениях бруса возникают только нормальные напряжения, определяемые по формуле , где N – продольная сила, S – площадь поперечного сечения.

Закон Гука

Мелким шрифтом приведена дополнительная информация, изучение и, тем более запоминание, которой необязательно.

Многочисленные экспериментальные наблюдения за поведени­ем деформируемых тел показывают, что в определенных диапазо­нах перемещения точек тела пропорциональны действующим на него нагрузкам. Впервые указанная закономерность была высказана в 1676 году английским ученым Робертом Гуком и носит название закона Гука.

В соответствии с этим законом перемещение произвольно взя­той точки А (рис. ) нагруженного тела по некоторому направ­лению, например, по оси z, а может быть выражено следующим образом:

u = k_z P,

где Р  сила, под действием которой происходит перемещение u;

k_z  коэффициент пропорциональности между силой и перемеще­нием.

Очевидно, что коэффициент k_z зависит от физикомеханиче­ских свойств материала, взаимного расположения точки А и точки приложения и направления силы Р, а также от геометрических особенностей си­стемы. Таким образом, последнее выражение следует рассматривать как закон Гука для данной системы.

В современной трактовке закон Гука определяет линейную за­висимость между напряжениями и деформациями, а не между си­лой и перемещением. Коэффициенты пропорциональности в этом случае представляют собой физико-механические характеристики материала и уже не связаны с геометрическими особенностями системы в целом.

В пределах малых деформаций при простом растяжении или сжатии закон Гука записывается в следующем виде:

 = E∙  

– нормальные напряжения пропорциональны линейным деформациям.

Величина Е представляет собой коэффициент пропорциональ­ности, называемый модулем упругости материала первого рода (или модулем продольной упругости, или модулем Юнга).

Модуль Юнга зависит только от физико-механических свойств материала и не зависит от размеров тела (длины и площади поперечного сечения). Размерность модуля Юнга – Па. Чем больше Е, тем менее растяжимый материал. При упрощённом решении задач можно принимать:

Определение абсолютной линейной деформации

Если стержень изготовлен из однородного изотропного мате­риала с Е = const, имеет постоянное поперечное сечение S = const и нагружен по концам суммой сил равной N, то абсолютная линейная деформация:

E∙S — жесткость стержня при растяжении (сжатии).

При решении многих практических задач возникает необходи­мость, наряду с удлинениями, обусловленными действием механи­ческих нагрузок, учитывать также удлинения, вызванные темпера­турным воздействием. В этом случае пользуются принципом неза­висимости действия сил, и полные деформации рассматривают как сумму силовой и температурной деформаций:

,

где   коэффициент температурного расширения материала; t пе­репад температуры тела. Для однородного стержня, нагруженного по концам продольными силами Р и равномерно нагретого по длине, получим: .

Механические испытания материалов

Для выбора материала проектируемой детали, а также для расчета ее на прочность необходимо располагать данными о механических свойствах материала, т.е. его прочности, пластичности.

Для получения числовых значений этих величин проводят различные механические испытания.

Механические испытания различают:

1. по характеру нагружения на:

- статические

- динамические

- выносливость (усталость)

2. по виду деформаций на:

- растяжение

- сжатие

- срез

- кручение

- изгиб

- сложное нагружение

Механические испытания проводят на образцах, форма и размеры которых установлены ГОСТами и ТУ.

Наиболее распространено испытание на растяжение статической нагрузкой. Испытание проводится на разрывной или универсальной машине.

О сновные механические характеристики материалов

_п — предел пропорциональности, _т — предел текучести, _в — временное сопротивление, _пч — предел прочности, _к — напряжение в момент разрыва.

Диаграмма Р–ℓ связана не только со свойствами материала, но и с размерами испытанного образца. Чтобы получить характеристики свойств материала, исключающие влияние на диаграмму размеров образца, её перестраивают: нагрузки Р делят на начальную площадь S поперечного сечения образца, а абсолютные удлинения ℓ – на начальную длину ℓ₀.

_у – 0,05% ост.деф.;

Наклеп материала – повышение прочности и уменьшение пластичности материала вследствие предварительной нагрузки выше предела текучести.

Коэффициент запаса прочности

Фактические нагрузки, действующие на деталь, и свойства материалов, из которых она изготовлена, могут значительно отличаться от тех, которые принимаются для расчета.

При этом факторы, снижающие прочность детали (перегрузки, неоднородность материалов и т. д.), носят чаще всего случайный характер и предварительно не могут быть учтены.

Так как детали и сооружения в целом должны безопасно работать и при этих неблагоприятных условиях, то необходимо принять определенные меры предосторожности. С этой целью напряжения, обеспечивающие безотказную работу (эксплуатации) машины или любого другого сооружения, должны быть ниже тех предельных напряжений, при которых может произойти разрушение или возникнуть пластические деформации.

Таким образом, принимают

где [σ] – допускаемое напряжение; [n] – нормативный (т. е. предписываемый нормами проектирования конструкций) коэффициент запаса прочности, называемый также коэффициентом безопасности, σ_nред – предельное напряжение материала.

Различают также расчётный коэффициент запаса прочности.

Отношение предельного напряжения к наибольшему напряжению, возникающему в рассчитываемом элементе конструкции при эксплуатационной нагрузке (т.е. к расчетному или рабочему напряжению) называют расчётным коэффициентом запаса прочности.

n = _пред / 

Величина n должна быть больше единицы, иначе прочность конструкции будет нарушена.

Другой вид условия прочности: n ≥ n

При статических нагрузках за предельное напряжение для хрупких материалов принимают предел прочности (_пч). Для пластичных материалов за предельное напряжение принимают – предел текучести (_т), так как при напряжениях, равных пределу текучести, возникают значительные пластические деформации, которые недопустимы.

Таким образом, коэффициент запаса прочности вводится для того, чтобы обеспечить безопасную, надежную работу сооружения и отдельных его частей, несмотря на возможные неблагоприятные отклонения действительных условий их работы от расчетных.

нормативный коэффициент запаса прочности [n] назначается на основании имеющегося опыта эксплуатации сооружений и машин.

В последнее время один общий коэффициент запаса расчленяют на ряд составляющих, частных

коэффициентов запаса, каждый из которых отражает влияние на прочность элемента конструкции какого-либо определенного фактора или группы факторов. Например, один из коэффициентов отражает возможные отклонения механических характеристик материала от принимаемых в качестве расчетных, другой – отклонения действующих нагрузок от их расчетных значений и т. д.

Такое разделение общего коэффициента запаса позволяет лучше учесть многообразные конкретные условия работы деталей машин и сооружений и проектировать их с большей надежностью и экономичностью.

Коэффициент запаса прочности представляют в виде произведения n = n₁  n₂  n₃

В вопросе о частных коэффициентах и их значениях до сих пор нет единообразия. Значения коэффициентов запаса прочности обычно принимают на основании опыта конструирования и эксплуатации машин определенного типа. В настоящее время в машиностроении имеются рекомендации пользоваться одним, тремя, пятью частными коэффициентами запаса прочности. В «Справочнике машиностроителя» рекомендуется пользоваться тремя частными коэффициентами:

n₁ – коэффициент, учитывающий неточность в определении нагрузок и напряжений. Значение этого коэффициента при повышенной точности определения действующих напряжений может приниматься равным 1,2-1,5, при меньшей точности расчета – 2-3;

n₂ – коэффициент, учитывающий неоднородность материала, повышенную его чувствительность к недостаткам механической обработки. При расчете по пределу прочности для малопластичных и хрупких материалов величину n₂ принимают:

а) для малопластичных материалов (высокопрочные стали при низком отпуске) n₂=2-3;

б) для хрупких материалов n₂=3-4;

в) для весьма хрупких материалов n₂=4-6. При расчете на усталость коэффициент n₂ принимают равным 1,5-2,0, увеличивая его для материала с пониженной однородностью (особенно для литья) и для деталей больших размеров до 3,0 и более;

n₃ – коэффициент условий работы, учитывающий степень ответственности детали, равный 1-1,5.

Чем больше n, тем прочнее конструкция, тем большим запасом надежности она обладает. В то же время очень большие запасы приводят к перерасходу материала, делают конструкцию тяжелой, неэкономичной, неэстетичной.

Допускаемые напряжения и коэффициенты запаса прочности при статических нагрузках.

Необходимо учитывать, что условный предел текучести (у малопластичных материалов) и предел прочности (у хрупких материалов) в зависимости от растяжения или сжатия чаще всего различный.

Предел текучести (у пластичных материалов) одинаков при растяжении и при сжатии.

Допускаемые напряжения для разных материалов

(при статическом нагружении)

Раздел 3. Геометрические характеристики плоских сечений Статистический момент сечения

С татистическим моментом сечения относительно оси, (лежащей в плоскости сечения), называется взятая по всей площади А сечения сумма произведений площадей элементарных площадок dA на их расстояние до этой оси.

Статистический момент обозначается «S» с индексом, указывающим ось.

Если сечение состоит из простейших геометрических фигур (круга, квадрата, треугольника, прямоугольника), то при вычислении его статистических моментов от интегрирования можно перейти к конечному суммированию:

где ∆A_i – площади простейших элементов, из которых составлено сечение;

х_i и y_i – координаты центров тяжести простейших элементов.

— статический момент всей фигуры равен сумме статических моментов каждой ее части.

Вспомним теорему Вариньона: «Момент равнодействующей равен сумме (Σ) моментов её составляющих». Под знаком Σ стоят статистические моменты простейших частей сечения. Заменив эти суммы моментом всей площади относительно тех же осей, получим:

S_x = y_c · А S_y = x_c · A

где А – площадь всего сечения; x_c и y_c – координаты центра тяжести сечения.

Статистические моменты измеряются в м³. В расчётах чаще используют см³. (1 см³ = 10 ^-6 м³)

Площадь А всегда больше нуля, координаты центра тяжести сечения могут быть >0 или <0, в зависимости от расположения осей. следовательно, S_x может быть >0 или <0 в зависимости от того, где лежит большая часть площади, но может быть =0.

Если ось проходит через центр тяжести сечения, она носит название центральной оси. Статистический момент сечения относительно центральной оси =0, т.к. х_с или у_с =0.

Если сечение имеет две оси симметрии, то центр тяжести лежит на их пересечении. Если сечение имеет одну ось симметрии, то центр тяжести лежит где-то на этой оси, поэтому статистический момент симметричного сечения относительно его оси симметрии всегда =0.

При вычислении статистического момента сложного сечения его разбивают на простые части и алгебраически суммируют статические моменты этих простых частей сечения:

S_x = S_1x + S_2x + S_3x + …..+ S_nx

где S_x – статистический момент всей фигуры относительно оси x.

S_1x , S_2x , S_3x , …., S_nx – статистические моменты отдельных простых частей фигуры относительно оси x.

Статические моменты можно складывать только относительно одной и той же оси. Относительно разных осей их складывать нельзя. Для этого надо привести все моменты к единой оси и только потом суммировать.

Координаты центра тяжести сложных сечений:

где А₁, А₂, А_n – площади простых частей, на которые разбито сложное сечение,

x₁ и y₁ – координаты центра тяжести первой простой фигуры, и т. д.

Если сечение имеет одну ось симметрии, то центр тяжести лежит где-то на этой оси, и для того чтобы определить его положение нужно найти только одну координату.

Задача для самостоятельного решения.

Н айти координаты центра тяжести сечения: х_c -? у_c -?

Размеры даны в мм, но считать удобнее в см, а потом ответ перевести в мм. Оси задать произвольно.

При рациональном выборе нача-ла координатных осей вычисления существенно упрощаются.

Р е ш е н и е

координатные оси Х и У проводятся через центр тяжести (С₁) первого (верхнего) прямоугольника.

1. Площади прямоугольников:

A₁ = 12·2 = 24 см²

A₂ = 4·3 = 12 см²

2. Координаты центра тяжести прямоугольников:

х₁ = 0 х₂ = 0

у₁ = 0 у₂ = -1-2 = -3 см

3. Статистические моменты прямоугольников:

S_1x = y₁·A₁ = 0·A₁ = 0 S_2x = y₂·A₂ = -3·12 = -36 см³

S_1у = x₁·A₁ = 0·A₁ = 0 S_2y = x₂·A₂ = 0·A₂ = 0

4. Координаты центра тяжести составного сечения:

Моменты инерции плоских сечений.

При расчетах на прочность, жесткость и устойчивость используются осевые и полярные моменты инерции.

Осевым моментом инерции относительно некоторой оси называют взятую по всей площади сечения А сумму произведений площадей элементарных площадок dA на квадраты их расстояний до этой оси:

Полярным моментом инерции относительно некоторой точки (полюса О) называют взятую по всей площади сечения А сумму произведений площадей элементарных площадок dA на квадраты их расстояний до этой точки

Связь между осевыми и полярным моментами инерции:

Согласно рис. ² = x² + y²

Осевые и полярный моменты инерции всегда положительны и не могут быть = 0. Они измеряются в м⁴ или в см⁴. (1 см⁴ = 10 ^-8 м⁴)

Центробежным моментом инерции относительно некоторых двух взаимно перпендикулярных осей (xy) называют взятую по всей площади сечения А сумму произведений площадей элементарных площадок dA на их расстояния до этих осей.

Центробежный момент может быть положительным, отрицательным и равным нулю в зависимости от положения осей. Измеряется он также в м⁴ или см⁴.

Если какое-либо сечение (плоская фигура) имеет хотя бы одну ось симметрии, то центробежный момент инерции относительно оси симметрии Y и ей перпендикулярной оси X равен нулю. (рис. Трапеции)

Момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции её составных частей.

Моменты инерции простых сечений

Прямоугольник:

Квадрат:

Круг:

Кольцо:

Моменты инерции относительно параллельных осей

Момент инерции сечения относительно любой оси равен моменту инерции относительно параллельной ей центральной оси плюс произведение площади сечения на квадрат расстояния между осями.

I_x1=I_x+a²·A I_y1=I_y+b²·A

Центробежный момент инерции относительно параллельных осей:

I_{x1 y1}=I_xy+abA , где a и b – координаты в осях XY

Оси, относительно которых моменты инерции сечения имеют экстремальные значения, а центробежный момент инерции I_xy = 0 называются главными осями инерции сечения.

Если главные оси проходят через центр тяжести сечения, то они называются главными центральными осями инерции сечения.

Раздел 4 Кручение

Кручение – вид деформации, при котором поперечные сечения бруса взаимно поворачиваются под влиянием моментов, действующих в этих сечениях. Продольная ось бруса при этом остается прямой.

При работе стержня, бруса на кручение в его поперечных сечениях возникает только один внешний силовой фактор – крутящий момент T.

Работающий на кручение стержень, брус называют валом.

Р=Т  Т=Р/

Теория кручения бруса круглого сплошного или кольцевого поперечного сечения (др. назв-е: Гипотеза Бернулли или гипотеза плоских сечений) основана на следующих допущениях:

Допущения:1. Поперечные сечения круглого бруса, плоские и перпендикулярные к его оси до деформации остаются плоскими и перпендикулярными к оси и после деформации.

2. Радиусы, проведенные в поперечных сечениях остаются прямыми после деформации.

3. Расстояние между поперечными сечениями в процессе деформации не изменяются.

Примечание. Материал бруса при деформации, следует закону Гука.

Заключение. Круглое поперечное сечение бруса остается плоским и поворачивается как жесткое целое.

Определение крутящего момента в поперечном сечении вала

При равномерном вращении сумма внешних крутящих моментов, действующих на вал, равна 0. ( М_i = 0)

Крутящий момент в любом сечении вала определяют методом сечений через внешние крутящие моменты.

Крутящий момент Т в произвольном поперечном сечении вала численно равен сумме внешних моментов, приложенных по одну сторону от рассматриваемого поперечного сечения.

Т=Σ M_z

Другими словами внутренние силы, возникающие в поперечном сечении бруса, должны дать момент, уравновешивающий внешние крутящие моменты, приложенные к оставленной части.

Правило знаков: Крутящий момент в сечении (а-а) считается положительным, когда внешний момент вращает отсеченную часть против часовой стрелки, если смотреть на отсеченную часть со стороны сечения. Если же внешний момент вращает отсеченную часть по часовой стрелке (при взгляде со стороны сечения), то крутящий момент в сечений будет отрицательным.

Если на вал действует несколько крутящих моментов, то для определения наиболее нагруженного участка вала строят эпюры крутящих моментов. График, показывающий закон изменения крутящих моментов по длине бруса называется эпюрой крутящих моментов. Границами участков будут сечения, в которых:

• приложен внешний крутящий момент

• изменяется площадь или форма поперечного сечения

пример 1:

пример 2:

На каждом участке крутящий момент Т имеет постоянное значение. Эпюра крутящих моментов на участке – прямая параллельная оси абсцисс. При переходе границы участка эпюра крутящих моментов делает скачок на величину внешнего момента, приложенного в этом сечении.

Расчёт вала на прочность

При кручении бруса во всех поперечных сечениях возникают только касательные напряжения.

Для расчета на прочность (жесткость), также как и при растяжении (сжатии) бруса, надо найти его опасное сечение. В случае, если размеры поперечного сечения по длине бруса постоянны, опасными будут сечения, в которых крутящих момент максимален.

Касательное напряжение в  точке поперечного сечения:

где Т – внутренний крутящий момент,

_ – полярный момент инерции всего сечения,

 – радиус-вектор (расстояние) от центра сечения до рассматриваемой ()

_ и Т не зависят от того насколько точка удалена от центра сечения и постоянны для  точки сечения.

В точках равноудаленных от центра сечения напряжения  одинаковы. Наибольшее значение касательное напряжение достигает в точках контура поперечного сечения, т. е. при ρ_max = r = d/2

т. к. наиболее важно именно максимальное напряжение, то обозначили , где W_ – полярный момент сопротивления ( в общем случае – момент сопротивления при кручении).

Тогда

Если поперечное сечение вала – круг:



Если поперечное сечение вала – кольцо:



Условие статической прочности вала при кручении:

используется при проверочном расчете.

При проектном расчете:

Деформации валов при кручении.

При кручении валов возникают только угловые деформации.

Угол, на который поворачивается вокруг оси одно сечение относительно другого, называется углом закручивания.

Угол поворота правого торца относительно левого называется полным углом закручивания и обозначается φ.

Угол взаимного поворота двух сечений, отнесенный к расстоянию между ними называется относительным углом закручивания и обозначается φ₀ (аналогично )

Полный угол закручивания определяется как алгебраическая сумма углов закручивания, вычисленных для каждого участка в отдельности.

φ = φ_1уч.+φ_2уч.+φ_3уч.+ φ_4уч.

Угол закручивания для участка вала длиной ℓ : (рад/м),

где Т – крутящий момент на данном участке вала Нм

G – модуль поперечной упругости (модуль сдвига) МПа, Н/м²

I_ – полярный момент инерции м⁴

Угол закручивания – это абсолютная угловая деформация. Аналогично абсолютной линейной деформации

Относительный угол закручивания (угол закручивания на длине ℓ):

(рад)

Величина G I_ – жесткость вала при кручении.

Условие жесткости вала при кручении:

При проверке вала на жесткость или определении диаметра вала из условия жесткости за расчетный принимается наибольший крутящий момент Т_max из полученных на участках эпюры крутящих моментов.

Кручение вала прямоугольного поперечного сечения.

При кручении валов прямоугольного поперечного сечения гипотеза плоских сечений неприемлема. Сечение вала заметно искривляются. В углах напряжение равно 0. Наибольшие касательные напряжения возникают в точках, лежащих в серединах бо́льших сторон и определяются по формуле _max=

где W_k= hb² – момент сопротивления при кручении.

Касательное напряжение посредине коротких сторон  = ·_max

Угол закручивания φ =

Коэффициенты ,, зависят от отношения сторон h/b и определяются по таблице.

Раздел 5 Изгиб

Изгибом называют деформацию, которая вызывает искривление оси и продольных волокон стержня.

Изгибом называется чистым, если в поперечных сечениях стержня возникают только изгибающие моменты.

Если же наряду с изгибающими моментами в сечениях стержня возникают и поперечные силы, то изгиб называется поперечным.

Силовая плоскость – плоскость действия поперечных сил и изгибающих моментов.

Если силовая плоскость проходит через одну из главных центральных осей (оси симметрии) поперечного сечения стержня, то изгиб носит название плоского.

Если силовая плоскость не совпадает ни с одной из главных центральных осей поперечного сечения изгиб называют косым.

Стержень, брус работающий на изгиб обычно называют балкой.

Балка, свободно лежащая на опорах называется простой балкой.

Балка одним жестко заделанным концом называется консольной балкой или просто консолью.

Расстояние между двумя соседними опорами в балке называется пролётом.

Виды нагружения при изгибе

• - изгибающий момент М (Hм)

• - поперечная сосредоточенная сила (H,)

• - распределенная нагрузка q (Н/м).

Определение нормальных напряжений при изгибе

При чистом плоском изгибе в поперечных сечениях балки возникают только нормальные напряжения. Здесь действует гипотеза плоских сечений, т. е. поперечные сечения балки, плоские до деформации, останутся плоскими и после деформации. (Гипотеза хорошо согласуется с результатами опытов.)

РИС.

Слой балки не испытывающий при изгибе ни растяжения, ни сжатия называют нейтральным слоем.

Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нейтральной осью сечения. (обозначают н.о.)

Нейтральная ось при изгибе всегда проходит через центр тяжести сечения.

ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР

ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ (Q) И ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ (М)

1. Если на участке отсутствует распределенная нагрузка, то поперечная сила постоянна, а изгибающий момент изменяется по линейному закону.

2. Если на участке имеется равномерно распределённая нагрузка, то поперечная сила изменяется по линейному закону, а изгибающий момент – по закону квадратичной параболы. При этом парабола всегда обращена выпуклостью навстречу распределённой нагрузке.

3. В сечении, где поперечная сила = 0, изгибающий момент достигает экстремального значения (min или max).

4. В сечении, где приложена внешняя сосредоточенная сила, -ная продольной оси балки, эпюра Q имеет скачок на величину этой силы, а эпюра М – излом.

5. В сечении, где приложен внешний сосредоточенный момент, эпюра М имеет скачок на величину этого момента. На эпюре Q это не отображается.

6. В концевом сечении балки поперечная сила и изгибающий момент равны соответственно приложенным в этом сечении внешней сосредоточенной силе (активной или реактивной) и внешнему сосредоточенному моменту (активному / реактивному).

7. В сечении, где начинается или кончается распределенная нагрузка (при условии, что в этом сечении не приложена сосредоточенная сила), эпюра изгибающих моментов не имеет излома.

Определение касательных напряжений при поперечном изгибе.

При поперечном изгибе наряду с изгибающим моментом в сечении балки возникает поперечная сила (Q). Наличие поперечной силы связано с возникновением в поперечном сечении касательных напряжений.

Русский инженер – мостостроитель Дмитрий Иванович Журавский в связи с проектированием деревянных мостов для ж/д Петербург – Москва проводил исследования определения и изменения касательных напряжений при поперечном изгибе и разработал в 1844-1850гг. теорию касательных напряжений в балках прямоугольного профиля. Им было установлено, что касательное напряжение при изгибе не распределяются равномерно на высоте сечения. Также он получил формулу для подсчета касательных напряжений при изгибе, которая носит название формулы Журавского.

τ =

Q_y (Q) – поперечная сила в рассматриваемом сечении.

S`_x – статистический момент относительно нейтральной оси той части сечения, которая лежит выше или ниже прямой проведенной через данную точку;

I_x – осевой момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси.

b – ширина поперечного сечения на уровне точки, в которой определяется напряжение.

Q, I_x, b для сечения постоянной ширины не меняются.

S_x изменяется в зависимости от y₁ следовательно τ в любой точке поперечного сечения зависит только от y₁. Касательные напряжения достигают максимального значения:

Для прямоугольного сечения: τ_max =

в точках на нейтральной линии, т. е. при y = 0.

Для двутавра: τ_max = , где S_xП/С – статистический момент полусечения.

Для круглого сечения: τ_max = , где A – площадь.

Максимальное касательное напряжение для большинства симметричных сечений относительно нейтральной оси (X) имеет место в точках лежащих на нейтральной оси.

Для стальных балок [τ] ≈ 0,6∙ [σ]

Условие прочности по касательным напряжениям: τ_max ≤ [τ]

Алгоритм полного расчета на прочность при изгибе

Два условия прочности, относящиеся к различным точкам балки:

а) по нормальным напряжениям , (точки наиболее удаленные от н.о.); б) по касательным напряжениям , (точки на нейтр.оси).

Из а) определяют размеры балки: , которые проверяют по б).

В сечениях балок могут быть точки, где одновременно большие нормальные и большие касательные напряжения. Для этих точек находятся эквивалентные напряжения, которые не должны превышать допустимых. Условия прочности проверяются по различным теориям прочности

I-я: ; I-я и II-я теории применяются крайне редко.

II-я: (при коэфф.Пуассона =0,3);

III-я: , IV-я: ;

теория Мора: , (используется для хрупких материалов, в частности, для чугуна, у которого допускаемое напряжение на растяжение [_р][_с] – на сжатие).

22