22.Точки разрыва

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если выполняются след. три условия:

1) функция f(x) определена в точке x0, т.е. x0 э D(f);

2) существует limf(x);

3) limf(x) = f(x0).

Если в точке x0 нарушено хотя бы одно из условий 1)-3), то функция называется разрывной в точке x0, а точка x0- точкой разрыва. Различают следующие случаи:

I) если условие 2) определения 5 выполнено и при этом x0 /эD(f) или limf(x) ̸= f(x0), то точка x0 наз. устранимого разрыва;

II) если условие 2) определения 5 нарушено, т.е. не существует

limf(x), но при этом существуют два конечных односторонних предела

lim(x→x0−0 )f(x) = f(x0 − 0),

lim(x→x0+0)f(x) = f(x0 + 0), не равные друг другу, то точка x0 называется

точкой разрыва первого рода, а разность f(x0 + 0) − f(x0 − 0) – скачком функции f(x) в точке x0;

III) если хотя бы один из односторонних пределов равен +∞ или −∞ или вообще не существует, то точка x0 называется точкой разрыва второго рода.Таким образом, при исследовании функции на непрерывность необходимо проверить выполнение условий определения 5. Если точка разрыва, то для установления характера разрыва необходимо вычислить одностор. пределы.

23. Предел композиции

Пусть f : X → Y , f(X) = Y , g : Y → R и lim_x→x0 f(x) = y0, lim_y→y0 g(y) = c. Если существует проколотая окрестность V˙ (x0) точки x0, что f(x) ≠ y0 ∀x ∈ V˙ (x0), то

Доказательство. Имеем

Так как по условию f(x) ≠ y0 в некоторой V˙ (x0), то Так же имеем

Тогда в итоге

24. Ограниченность функции, непрерывной на отрезке

Функция f(x) непрерывная во всех точках некоторого множества X, называется непрерывной на этом

множестве. Если X = [a; b], то для непрерывности функции на X требуется, чтобы f(x) была непрерывна во всех внутренних точках отрезка, непрерывна справа на левом его конце, т.е. в точке a, и непрерывна слева на правом его конце, т.е. в точке b.

Теорема Вейерштрасса: Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает на нем своих верхнейи нижней граней.

Доказательство: Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и пусть M = sup(a<=x<=b) f(x); M как и всякая верхняя грань непустого множества чисел, может быть либо конечной, либо бесконечной, равной +∞. Покажем, что M < +∞и что существует такая точка x0 ∈ [a; b], что f(x0) = M.

Выберем какую-либо посл. таких чисел an, n = 1, 2, . . ., что liman = M, an < M, n = 1, 2, . .Согласно определению верней грани функции для каждого an, n = 1, 2, . . существует такая точка xn э [a; b], что f(xn) > an, n = 1, 2, . .

С другой стороны, поскольку M верхняя грань функции f(x), для всех точек x э [a; b] справедливо нерав.

f(x) 6 M.Последовательность {xn} ограничена, так как a 6 xn 6 b, n = 1, 2, . . ., поэтому по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся последовательность {xnk

}, и пусть limxnk = x0. Предел всякой подпосл. Послед., имеющей конечный или бесконечный предел, равен пре-

делу всей последовательности; поэтому из (2.1) имеем limank = M. Переходя в (2.4) к пределу при k → ∞ получаем limf(xnk ) = M.

С другой стороны, в силу непрер. функции f(x) на отрезке [a; b] она непрерывна в точке x0 этого отрезка и limf(xnk ) = f(x0) Таким образом, доказано, что верхняя грань M функции f(x) совпадает со значением функции в точке x0 и, следо-

вательно, конечна. Тем самым функция f(x) ограничена сверху и ее верхняя грань достигается в точке x0 ∈ [a; b].

25. Промеж. pнач. Непрер. функций (Больцано-Коши). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и f(a) = A, f(b) = B, то для любого C,

заключенного между A и B, существует такая точка ξ э [a; b], что f(ξ) = C.

Доказательство. Пусть для определенности f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Разделим отрезок [a; b] точкой x0 на два равных по длине отрезка; тогда либо f(x0) = C и, значит, искомая точка ξ = x0 найдена, либо f(x0) ̸= C и тогда на концах одного из полученных отрезков функция f(x) принимает значения, лежащие по разные стороны от числа C, точнее - на левом конце значение меньшее C, на правом - большее. Обозначим этот отрезок [a1; b1] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате либо через конечное число шагов придем к искомой точке ξ, в которой f(ξ) = C, либо получим последовательность вложенных

отрезков [an, bn], по длине стремящихся к нулю и таких, что

f(an) < C < f(bn). Пусть ξ - общая точка всех отрезков [an; bn], n = 1, 2, . . . Как известно ξ = liman = limbn. Поэтому, в силу непрерывности функции можем записать f(ξ) = limf(an) = limf(bn). Тогда

limf(an) <= C <= limf(bn),т.е. f(ξ) = C.

Следствие1. Если функция непрер .на отрезке и на его концах принимает значения разного знака, то на этом

отрезке существует хотя бы одна точка, в которой функция обращ. в нуль.

Следствие2. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и

M = supx э [a;b]

f(x), m = infx э [a;b]

Тогда функция f(x)

принимает все значения из отрезка [m;M] и только эти значения.