Треугольник Паскаля

В этом треугольнике крайние числа в каждой строке равны 1, а каждое не крайнее число равно сумме двух чисел предыдущей строки, стоящих над ним. Таким образом, этот треугольник позволяет вычислять числа  .

.

Теорема. 

Доказательство. Рассмотрим множество из   элементов и решим двумя способами следующую задачу: сколько можно составить последовательностей из   элементов данного множества, в каждой из которых никакой элемент не встречается дважды?

1 способ. Выбираем первый член последовательности, затем второй, третий и т.д. член

2 способ. Выберем сначала   элементов из данного множества, а затем расположим их в некотором порядке

Домножим числитель и знаменатель этой дроби на  :

Пример. Сколькими способами можно в игре “Спортлото” выбрать 5 номеров из 36?

Искомое число способов

2) Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведении всех ее возможных значений на их вероятности.

  

1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M(C)=C

2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX)=CM(X)

3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(XY)=M(X)M(Y)

Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания:

D(X)=M[X—M(Х)]² = М[Х²—2ХM(Х)+M²(Х)] = M(Х²)-2M(Х)*М(Х)+M²(Х) = М(Х²)—2М²(Х)+M²(Х) = M(Х²)—М²(Х)

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С ровна нулю:  D(X)=0

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:D(CX)=С²D(Х).

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X+Y)=D(X)+D(Y).

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

D(X+Y+Z)=D(X)+D(Y)+D(Z).

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины:

D(C+X)=D(X).

Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(X-Y)=D(X)+D(Y)

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат н некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическоеотклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называют квадратный корень из дисперсии:

Теорема. Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратическихотклонений этих величин:

σ(X₁+X₂+…+X_n)=

Доказательство:

X=X₁+X₂+…+X_n тогда по теореме о дисперсии суммы D(X) = D(X₁)+D(X₂)+…+D(X_n)